Statistik Fermi-Dirac: Fondasi Kuantum dalam Model Elektron Bebas Sommerfeld

Zsmart.id - Ketika kita berbicara tentang logam dan konduktivitas listriknya, penting untuk memahami bagaimana elektron-elektron bebas berperilaku di dalam logam. Model klasik seperti model Drude mengasumsikan bahwa elektron dalam logam bersifat seperti gas ideal dan mengikuti statistik klasik Maxwell-Boltzmann. Namun, hasil eksperimen menunjukkan banyak ketidaksesuaian, terutama dalam:

Kapasitas panas logam pada suhu rendah yang jauh lebih kecil dari prediksi klasik
Konduktivitas termal dan hukum Wiedemann–Franz
Fakta bahwa tidak semua elektron berkontribusi dalam konduksi

Untuk memperbaikinya, fisikawan Arnold Sommerfeld menggantikan pendekatan klasik dengan pendekatan mekanika kuantum dan memperkenalkan statistik Fermi-Dirac dalam teori elektron bebas. Langkah ini membentuk dasar dari Model Sommerfeld, yang memberikan pemahaman lebih akurat tentang sifat elektronik logam.

A. Apa Itu Statistik Fermi-Dirac?

Statistik Fermi-Dirac digunakan untuk menggambarkan bagaimana fermion (seperti elektron) mengisi tingkat-tingkat energi dalam sistem. Statistik ini mengikuti Prinsip Larangan Pauli, yaitu tidak ada dua elektron yang dapat menempati keadaan kuantum yang sama (dengan angka kuantum identik).

Distribusi ini menyatakan probabilitas $f(E)$ bahwa sebuah keadaan energi $E$ akan ditempati oleh elektron pada suhu $T$ :

f (E) = \frac{1}{e^{(E - E_{F}) / k T} + 1​}

Keterangan:

$E$ : energi keadaan yang ingin diperiksa
$E_F$ : energi Fermi — energi tertinggi yang terisi pada suhu 0 Kelvin
$k$ : konstanta Boltzmann
$T$ : suhu mutlak (dalam Kelvin)

B. Distribusi Fermi-Dirac pada Suhu 0 K dan Suhu Ruang

Sumber: elprocus.com

Pada suhu $T = 0\,K$ :

Semua keadaan energi di bawah $E_F$ terisi penuh: $f(E) = 1$
Semua keadaan energi di atas $E_F$ kosong: $f(E) = 0$

Pada suhu $T > 0\,K$ :

Elektron mulai “termal” dan menempati energi di atas $E_F$ , tapi hanya dalam selang energi sempit sekitar $kT$
Distribusi menjadi “melunak”, tapi mayoritas elektron tetap berada di bawah $E_F$

C. Energi Fermi dan Kepadatan Keadaan

Energi Fermi $E_F$ adalah parameter penting yang menentukan batas atas energi pada suhu nol. Nilainya bergantung pada konsentrasi elektron bebas $n$ dalam logam.

Hubungan jumlah total elektron dengan fungsi distribusi dan kepadatan keadaan:

N = \int_{0}^{\infty} f (E) \cdot g (E) d E

Dengan:

$g(E)$ : fungsi kepadatan keadaan (jumlah keadaan per satuan energi)
$f(E)$ : fungsi distribusi Fermi-Dirac

Untuk elektron bebas dalam 3D:

g(E) \propto \sqrt{E}

D. Perbedaan Pendekatan Klasik vs Kuantum

Perbedaan antara pendekatan klasik dan kuantum dalam menjelaskan perilaku elektron dapat dilihat dari bagaimana kedua pendekatan tersebut memperlakukan sifat-sifat elektron dan sistem tempat mereka berada. Dalam pendekatan klasik, seperti yang digunakan dalam model Drude, elektron dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas, serupa dengan gas ideal, yang mengikuti hukum statistik Maxwell-Boltzmann. Model ini mengasumsikan bahwa elektron dapat ditempati oleh semua tingkat energi secara merata, tanpa memperhatikan batasan kuantum apa pun. Hal ini menyebabkan prediksi yang kurang akurat mengenai konduktivitas listrik, kapasitas panas, dan banyak sifat fisik lainnya yang terkait dengan perilaku elektron pada suhu rendah.

Di sisi lain, pendekatan kuantum yang diperkenalkan dalam model Sommerfeld dan diwakili oleh statistik Fermi-Dirac, mengakui bahwa elektron adalah fermion yang tunduk pada Prinsip Pauli, yang menyatakan bahwa tidak ada dua elektron yang dapat berada pada keadaan kuantum yang sama. Oleh karena itu, hanya sebagian elektron yang bisa berkontribusi pada konduksi listrik atau kapasitas panas, tergantung pada energi mereka dan suhu sistem. Pada suhu 0 K, semua keadaan energi di bawah energi Fermi terisi penuh, sementara yang di atasnya kosong. Hal ini memberikan gambaran yang lebih realistis dan akurat tentang konduktivitas dan kapasitas panas logam pada suhu rendah. Dengan pendekatan kuantum ini, prediksi mengenai konduktivitas termal, hukum Wiedemann-Franz, dan berbagai fenomena elektronik menjadi lebih sesuai dengan hasil eksperimen.

Secara keseluruhan, pendekatan klasik lebih sederhana namun kurang mampu menjelaskan fenomena-fenomena kuantum, sementara pendekatan kuantum memberikan pemahaman yang lebih dalam dan sesuai dengan eksperimen, meskipun memerlukan konsep-konsep yang lebih kompleks, seperti distribusi statistik Fermi-Dirac dan energi Fermi.

E. Implikasi Statistik Fermi-Dirac dalam Model Sommerfeld

Dengan menggunakan statistik Fermi-Dirac, model Sommerfeld menyimpulkan hal-hal penting berikut:

Tidak semua elektron berkontribusi pada konduksi:
- Hanya elektron yang berada dekat energi Fermi yang cukup “bebas” untuk berubah keadaan karena stimulasi eksternal (misalnya medan listrik atau suhu).
Kapasitas panas elektron menjadi kecil:
- Sebagian besar elektron “terjebak” di bawah energi Fermi, sehingga tidak bisa menyerap energi tambahan dari suhu kecuali dalam kisaran energi sempit.
Konduktivitas listrik tetap tinggi meski suhu rendah:
- Karena hanya sedikit elektron yang berpartisipasi aktif, tetapi tidak semua terganggu oleh peningkatan suhu.
Penjelasan Hukum Wiedemann–Franz lebih tepat:
- Konduktivitas listrik dan termal sebanding secara proporsional pada suhu rendah, sesuai hasil eksperimen.

Statistik Fermi-Dirac adalah elemen kunci dalam menjelaskan perilaku elektron dalam logam secara realistis dan kuantum. Dengan prinsip larangan Pauli dan distribusi kuantum, teori ini menggantikan pendekatan klasik Drude dan membuka jalan menuju model elektron bebas Sommerfeld yang lebih akurat. Hasilnya, kita bisa memahami fenomena seperti kapasitas panas yang rendah, hanya sebagian elektron yang konduktif, dan dasar untuk teori pita energi yang akan membahas konduktor, semikonduktor, dan isolator.

Demikian materi singkat mengenai peranan statistik Fermi-Dirac dalam menjelaskan teori elektron bebas. Semoga bermanfaat!.

zsmart.id