Teorema Kerja-Energi

Teorema kerja-energi adalah salah satu konsep dasar dalam mekanika yang menyatakan bahwa usaha ( $W$ ) yang dilakukan oleh gaya total pada sebuah benda sama dengan perubahan dalam energi kinetik benda tersebut.

Secara matematis, teorema ini dapat dituliskan sebagai:

W = \Delta K

Di mana:

$W$ adalah usaha yang dilakukan oleh gaya total.
$\Delta K$ adalah perubahan energi kinetik benda, yaitu selisih antara energi kinetik akhir dan energi kinetik awal.

Energi Kinetik

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh sebuah benda karena gerakannya. Energi kinetik suatu benda dengan massa $m$ yang bergerak dengan kecepatan $v$ diberikan oleh rumus:

K = \frac{1}{2} m v^2

Di mana:

$K$ adalah energi kinetik.
$m$ adalah massa benda.
$v$ adalah kecepatan benda.

Hubungan Antara Usaha dan Energi Kinetik

Teorema kerja-energi mengatakan bahwa usaha $W$ yang dilakukan oleh gaya total pada benda menyebabkan perubahan energi kinetik benda. Dengan kata lain, usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda mengubah kecepatan benda, yang pada gilirannya mengubah energi kinetiknya.

Jika gaya $\mathbf{F}$ bekerja pada benda dan menyebabkan perpindahan dari titik awal $A$ ke titik akhir $B$ , maka usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah integral dari gaya terhadap perpindahan:

W = \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

Dan perubahan energi kinetik diberikan oleh:

\Delta K = K_B - K_A = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2

Di mana $v_A$ dan $v_B$ adalah kecepatan benda pada titik awal $A$ dan titik akhir $B$ , berturut-turut.

Persamaan Teorema Kerja-Energi:

Berdasarkan prinsip kerja-energi, hubungan antara usaha yang dilakukan oleh gaya dan perubahan energi kinetik adalah:

\int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2

Artinya, usaha total yang dilakukan oleh gaya pada benda selama bergerak dari titik $A$ ke titik $B$ sama dengan perubahan energi kinetik benda antara titik $A$ dan titik $B$ .

Contoh Studi Kasus Teorema Kerja-Energi

Soal 1:

Sebuah mobil dengan massa 1000 kg bergerak dengan kecepatan awal 10 m/s. Sebuah gaya konstan sebesar 2000 N bekerja pada mobil tersebut selama 5 detik. Tentukan kecepatan mobil setelah 5 detik dan energi kinetiknya setelah itu.

Penyelesaian:

Menentukan energi kinetik awal:

Energi kinetik awal $K_A$ dapat dihitung menggunakan rumus energi kinetik:

K_A = \frac{1}{2} m v_A^2

Dengan $m = 1000 \, \text{kg}$ dan $v_A = 10 \, \text{m/s}$ :

K_A = \frac{1}{2} (1000)(10^2) = 50000 \, \text{J}

Menghitung usaha yang dilakukan oleh gaya:

Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan $\mathbf{F} = 2000 \, \text{N}$ selama waktu $t = 5 \, \text{detik}$ adalah:

W = F \cdot d

Dengan $d$ adalah jarak yang ditempuh mobil. Kita tahu bahwa $d = v_{\text{avg}} \cdot t$ , di mana $v_{\text{avg}}$ adalah kecepatan rata-rata selama 5 detik. Karena gaya konstan, kita dapat menggunakan rumus kecepatan rata-rata sebagai $v_{\text{avg}} = \frac{v_A + v_B}{2}$ .

Namun, kita juga dapat langsung menggunakan rumus dari kerja = perubahan energi kinetik:

W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2

Dengan $W = 2000 \times 5 = 10000 \, \text{J}$ , kita dapat menghitung $v_B$ :

10000 = \frac{1}{2} (1000) v_B^2 - 50000

10000 + 50000 = 500 v_B^2

60000 = 500 v_B^2

v_B^2 = \frac{60000}{500} = 120

v_B = \sqrt{120} \approx 10.95 \, \text{m/s}

Energi kinetik setelah gaya bekerja:

Sekarang kita hitung energi kinetik akhir $K_B$ :

K_B = \frac{1}{2} (1000)(10.95^2) = \frac{1}{2} (1000)(119.9) \approx 59950 \, \text{J}

Jadi, kecepatan mobil setelah 5 detik adalah sekitar $10.95 \, \text{m/s}$ , dan energi kinetiknya adalah sekitar $59950 \, \text{J}$ .

Berdasarkan uraian materi dan contoh soal yang diberikan, maka dapat kita ambil beberapa poin penting terkait usaha dan kerja ini, yakni:

Teorema kerja-energi menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pada sebuah benda sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.
Energi kinetik suatu benda bergantung pada massa dan kecepatan benda. Usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda akan mengubah kecepatan benda, dan dengan demikian mengubah energi kinetiknya.
Rumus utama: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2$

Teorema ini sangat berguna dalam analisis gerak benda yang dipengaruhi oleh gaya eksternal, serta untuk menghitung perubahan kecepatan dan energi kinetik dalam berbagai situasi fisik.