Teorema Energi-Momentum

1. Teorema Momentum

Teorema Momentum dan Persamaan Integral:

Seperti yang sudah kita bahas sebelumnya, Hukum Kedua Newton dapat ditulis dalam bentuk turunan waktu dari momentum:

$$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{P}}{dt}$$

Di sini, $\mathbf{F}$ adalah gaya yang bekerja pada benda, dan $\mathbf{P}$ adalah momentum benda yang didefinisikan sebagai:

$$\mathbf{P} = m \mathbf{v}$$

Langkah-Langkah untuk Mendapatkan Persamaan Integral:

Untuk memperoleh persamaan integral dari $\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{P}}{dt}$, kita cukup mengintegrasikan persamaan tersebut terhadap waktu.

1. Mulai dengan persamaan hukum Newton dalam bentuk momentum:

   $$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{P}}{dt}$$

2. Integrasi kedua sisi persamaan terhadap waktu: Untuk mendapatkan perubahan momentum, kita integrasikan gaya $\mathbf{F}$ terhadap waktu dari waktu $t_1$ hingga $t_2$:

   $$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{P}}{dt} \, dt$$
   

3. Hasil dari integral di sisi kanan: Karena $\frac{d\mathbf{P}}{dt}$ adalah turunan waktu dari momentum, integral dari $\frac{d\mathbf{P}}{dt}$ terhadap $t$ akan memberikan perubahan momentum dari waktu $t_1$ hingga $t_2$:

   $$\int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{P}}{dt} \, dt = \mathbf{P}(t_2) - \mathbf{P}(t_1)$$
   

4. Hasil Akhir: Jadi, persamaan integral yang diperoleh adalah:

   $${\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}dt=\mathbf{P}(t_2)-\mathbf{P}(t_1)$$

Di sini:

• $\mathbf{P}(t_2)$ adalah momentum benda pada waktu $t_2$,
• $\mathbf{P}(t_1)$ adalah momentum benda pada waktu $t_1$,
• Integral $\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, dt$ adalah total perubahan momentum yang disebabkan oleh gaya yang bekerja pada benda dari waktu $t_1$ hingga $t_2$.

Dari teorema momentum ini, kita dapat menentukan fungsi kecepatan dari suatu benda atau objek yang bergeak dengan fungsi gaya tertentu yang bergantung waktu. Lebih lanjut, fungsi posisi dan percepatan dapat ditentukan dari persamaan kecepatan yang telah diperoleh.

2. Hukum Kedua Newton dalam Bentuk Diferensial

Hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya yang bekerja pada suatu benda adalah laju perubahan momentum benda tersebut, yang secara matematis dapat ditulis sebagai:

$$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$

Di mana:

• $\mathbf{F}$ adalah gaya yang bekerja pada benda.
• $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ adalah momentum linier benda, dengan $m$ adalah massa dan $\mathbf{v}$ adalah kecepatan benda.
• $\frac{d\mathbf{p}}{dt}$ adalah laju perubahan momentum terhadap waktu.

Karena momentum $\mathbf{p}$ adalah hasil perkalian massa $m$ dan kecepatan $\mathbf{v}$, maka gaya dapat ditulis kembali sebagai:

$$\mathbf{F} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt}$$

Karena $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ adalah percepatan ($\mathbf{a}$), maka gaya juga dapat ditulis sebagai:

$$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$$

3. Hubungan Antara Usaha dan Gaya

Selanjutnya, kita akan melihat hubungan antara usaha dan gaya. Usaha ($W$) yang dilakukan oleh gaya pada benda selama perpindahan $\mathbf{r}$ dapat dituliskan sebagai:

$$W = \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

Di mana:

• $\mathbf{F}$ adalah gaya yang bekerja pada benda.
• $d\mathbf{r}$ adalah elemen perpindahan benda.
• Integral ini menunjukkan usaha yang dilakukan oleh gaya $\mathbf{F}$ dari posisi $A$ ke posisi $B$.

4. Menurunkan Energi Kinetik dari Hukum Kedua Newton

Sekarang, kita ingin menghubungkan usaha dengan energi kinetik. Dengan menggunakan hukum kedua Newton dalam bentuk $\mathbf{F} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt}$, kita substitusikan gaya ini ke dalam persamaan usaha:

$$W = \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{A}^{B} m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot d\mathbf{r}$$

Perhatikan bahwa $d\mathbf{r} = \mathbf{v} dt$, jadi kita bisa menulis usaha sebagai:

$$W = \int_{A}^{B} m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} dt$$

Dengan menggunakan aturan rantai, $\frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v}$ dapat ditulis sebagai:

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} v^2 \right)$$

Sehingga usaha menjadi:

$$W = \int_{A}^{B} m \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} v^2 \right) dt$$

Karena $m$ adalah konstanta, kita bisa menuliskan:

$$W = m \left[ \frac{1}{2} v^2 \right]_A^B$$ $$W = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2$$

Di mana $v_A$ dan $v_B$ adalah kecepatan benda pada titik $A$ dan $B$, berturut-turut.

5. Energi Kinetik

Dari hasil di atas, kita dapat melihat bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda selama perpindahan menyebabkan perubahan dalam energi kinetik benda. Energi kinetik $K$ dari sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan $v$ dan massa $m$ diberikan oleh:

$$K = \frac{1}{2} m v^2$$

Dengan demikian, hubungan antara usaha dan energi kinetik adalah:

$$W = \Delta K = K_B - K_A = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2$$

6. Teorema Kerja-Energi

Teorema kerja-energi menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda menyebabkan perubahan dalam energi kinetik benda tersebut. Secara matematis, teorema ini dapat ditulis sebagai:

$$W = \Delta K$$

Di mana:

• $W$ adalah usaha yang dilakukan oleh gaya.
• $\mathrm{\Delta }K$ adalah perubahan energi kinetik benda.

Ini adalah bentuk dari teorema kerja-energi yang menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda menghasilkan perubahan dalam energi kinetik benda.

Berdasarkan pemaparan yang diberikan, maka dapat dituliskan beberapa poin-poin penting yakni:

• Hukum kedua Newton dalam bentuk $\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$ menghubungkan gaya dengan perubahan momentum benda.
• Usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda adalah integral dari gaya terhadap perpindahan benda, $W = \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$.
• Dengan menggunakan hukum kedua Newton, kita dapat menunjukkan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda sama dengan perubahan energi kinetik benda, yaitu $W = \Delta K$.
• Energi kinetik suatu benda dengan massa $m$ dan kecepatan $v$ adalah $K = \frac{1}{2} m v^2$, dan usaha yang dilakukan oleh gaya akan menyebabkan perubahan dalam energi kinetik benda.

6. Contoh Kasus Teorema Energi-Momentum

Sebuah benda bermassa $m = 5 \, \text{kg}$ bergerak di sepanjang sumbu $x$ dan mengalami gaya yang bergantung pada waktu, yaitu $F(t) = 6t^2 \, \text{N}$, di mana $t$ adalah waktu dalam detik. Pada waktu $t = 0$, benda memiliki posisi $x(0) = 0$ meter dan kecepatan $v(0) = 0$ meter per detik.

Tentukan persamaan posisi $x(t)$, kecepatan $v(t)$, dan percepatan $a(t)$ benda menggunakan teorema momentum impuls dalam bentuk integral!

Langkah-langkah Penyelesaian:

Teorema momentum impuls masih berlaku dengan bentuk yang sama seperti sebelumnya:

$$\mathrm{\Delta }\mathbf{p}={\int }_0^{t}F(t^{\mathrm{\prime }})d{t}^{\mathrm{\prime }}$$

Dengan $\mathbf{p} = m \cdot v(t)$, maka kita dapat menuliskan:

$$m \cdot v(t) = \int_0^t F(t') \, dt'$$

1. Menentukan kecepatan $v(t)$

Diketahui bahwa gaya $F(t) = 6t^2$, sehingga:

$$5 \cdot v(t) = \int_0^t 6t'^2 \, dt'$$

Menghitung integral di sisi kanan:

$$5\cdot v(t)={\left[2t^{\mathrm{\prime }3}\right]}_0^t=2t^3$$

Maka:

$$v(t)=\frac{2}{5}{t}^3$$

2. Menentukan posisi $x(t)$

Kecepatan $v(t)$ adalah turunan pertama dari posisi $x(t)$. Oleh karena itu, kita dapat mencari posisi dengan mengintegrasikan kecepatan $v(t)$:

$$x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{2}{5} t^3 \, dt$$

Menghitung integral:

$$x(t) = \frac{2}{5} \cdot \frac{t^4}{4} + C = \frac{1}{10} t^4 + C$$

Karena $x(0) = 0$, maka kita memperoleh konstanta $C = 0$. Maka:

$$x(t) = \frac{1}{10} t^4$$

3. Menentukan percepatan $a(t)$

Percepatan $a(t)$ adalah turunan pertama dari kecepatan $v(t)$:

$$a(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{2}{5}{t}^3\right)=\frac{6}{5}{t}^2$$

Hasil

• Persamaan posisi: $x(t) = \frac{1}{10} t^4$
  
• Persamaan kecepatan: $v(t) = \frac{2}{5} t^3$
  
• Persamaan percepatan: $a(t) = \frac{6}{5} t^2$
  

Demikian materi singkat mengenai teorema energi-momentum disertai dengan contoh kasus. Semoga bermnafaat!

Share :