Solusi Persamaan Newton Untuk Gaya Konstan F=Konstan

Zsmart.id - Kita akan mulai dari Hukum Kedua Newton dalam bentuk momentum, kemudian melanjutkan dengan penerapan kalkulus untuk memperoleh persamaan percepatan, kecepatan, dan posisi benda ketika gaya yang bekerja adalah konstan.

1. Hukum Kedua Newton dalam Bentuk Momentum

Hukum Kedua Newton dapat ditulis dalam bentuk momentum sebagai berikut:

$$F = \frac{dp}{dt}$$

Di mana:

• $F$ adalah gaya yang bekerja pada benda (dalam satuan Newton, N),
• $p$ adalah momentum benda (dalam satuan kg·m/s),
• $\frac{dp}{dt}$ adalah laju perubahan momentum terhadap waktu.

Momentum $p$ sendiri didefinisikan sebagai:

$$p = mv$$

Di mana:

• $m$ adalah massa benda (dalam satuan kilogram, kg),
• $v$ adalah kecepatan benda (dalam satuan meter per detik, m/s).

Karena massa benda $m$ adalah konstan, kita dapat menurunkan persamaan momentum terhadap waktu:

$$\frac{dp}{dt} = m \frac{dv}{dt}$$

Karena $\frac{dv}{dt}$ adalah percepatan $a$, maka persamaan hukum kedua Newton menjadi:

$$F = ma$$

Dengan demikian, kita kembali pada bentuk standar hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan percepatannya.

Namun, kita akan melanjutkan dengan pendekatan menggunakan kalkulus untuk menentukan hubungan antara gaya konstan, percepatan, kecepatan, dan posisi benda.

2. Solusi dengan Kalkulus untuk Gaya yang Konstan

Misalkan gaya yang bekerja pada benda adalah konstan, yaitu $F = \text{konstan}$. Dengan demikian, percepatan benda $a$ akan konstan, karena:

$$a = \frac{F}{m}$$

2.1 Persamaan Percepatan

Karena gaya $F$ konstan, maka percepatan $a$ juga akan konstan, dan kita bisa menulis:

$$a = \frac{F}{m} = \text{konstan}$$

Ini berarti bahwa percepatan benda tidak berubah sepanjang waktu.

2.2 Persamaan Kecepatan

Kecepatan $v(t)$ benda dapat ditemukan dengan mengintegrasikan percepatan terhadap waktu. Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu, yaitu:

$$a = \frac{dv}{dt}$$

Karena $a$ adalah konstan, kita dapat menulis persamaan ini sebagai:

$$\frac{dv}{dt} = a$$

Untuk menemukan $v(t)$, kita mengintegrasikan kedua sisi terhadap waktu:

$$\int dv = \int a \, dt$$

Hasilnya:

$$v(t) = v_0 + at$$

Di mana:

• $v_0$ adalah kecepatan awal benda pada waktu $t = 0$,
• $a$ adalah percepatan konstan,
• $t$ adalah waktu.

Jadi, kecepatan benda pada waktu $t$ adalah $v(t) = v_0 + at$.

2.3 Persamaan Posisi

Posisi $x(t)$ benda dapat ditemukan dengan mengintegrasikan kecepatan terhadap waktu. Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, yaitu:

$$v = \frac{dx}{dt}$$

Substitusikan $v(t)$ yang sudah ditemukan sebelumnya ke dalam persamaan ini:

$$\frac{dx}{dt} = v_0 + at$$

Untuk menemukan $x(t)$, kita mengintegrasikan kedua sisi terhadap waktu:

$$\int dx = \int (v_0 + at) \, dt$$

Hasilnya:

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$

Di mana:

• $x_0$ adalah posisi awal benda pada waktu $t = 0$,
• $v_0$ adalah kecepatan awal benda,
• $a$ adalah percepatan konstan,
• $t$ adalah waktu.

Jadi, posisi benda pada waktu $t$ adalah $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$.

3. Ringkasan Persamaan

Jika gaya $F$ yang bekerja pada benda adalah konstan, maka kita dapat menuliskan persamaan untuk percepatan, kecepatan, dan posisi sebagai berikut:

1. Percepatan (a):

   $$a = \frac{F}{m}$$

2. Kecepatan (v) sebagai fungsi waktu (t):

   $$v(t) = v_0 + at$$

3. Posisi (x) sebagai fungsi waktu (t):

   $$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$

4. Contoh Kasus

Misalkan ada benda dengan massa $4 \, \text{kg}$ yang dipengaruhi oleh gaya konstan sebesar $12 \, \text{N}$. Benda ini mulai bergerak dari posisi $x_0 = 0$ dan kecepatan awal $v_0 = 0$.

1. Tentukan percepatan benda:

   $$a = \frac{F}{m} = \frac{12 \, \text{N}}{4 \, \text{kg}} = 3 \, \text{m/s}^2$$

2. Tentukan kecepatan setelah 5 detik:

   $$v(5) = v_0 + at = 0 + 3 \times 5 = 15 \, \text{m/s}$$

3. Tentukan posisi setelah 5 detik:

   $$x(5) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 3 \times 5^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 25 = 37.5 \, \text{m}$$

Jadi, kecepatan benda setelah 5 detik adalah $15 \, \text{m/s}$ dan posisi benda setelah 5 detik adalah $37.5 \, \text{m}$.

Demikian informasi singkat mengenai solusi persamaan Newton untuk gaya yang konstan. Semoga bermanfaat!

Share :