Solusi Persamaan Newton Untuk Gaya Sebagai Fungsi Posisi F=F(x)

Zsmart.id - Sekarang, kita akan membahas kasus di mana gaya yang bekerja pada suatu benda bergantung terhadap posisi benda tersebut. Dalam kasus ini, kita akan melihat bagaimana gaya yang bergantung pada posisi dapat memengaruhi gerakan benda.

1. Hukum Kedua Newton untuk Gaya yang Bergantung pada Posisi

Jika gaya $F(x)$ bergantung terhadap posisi $x$ , maka persamaan hukum kedua Newton tetap berlaku:

F(x) = ma

Dengan percepatan $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ , maka persamaan ini menjadi:

F(x) = m \frac{d^2x}{dt^2}

Namun, karena $F(x)$ adalah fungsi posisi, kita tidak bisa langsung mengekspresikan percepatan dalam bentuk fungsi posisi $x$ . Kita perlu melakukan sedikit analisis lebih lanjut.

2. Menggunakan Turunan Posisi untuk Gaya Bergantung Posisi

Dari hukum Newton di atas:

m \frac{d^2x}{dt^2} = F(x)

Namun, untuk memecahkan persamaan ini, kita perlu menggunakan kalkulus. Kita dapat menulis turunan percepatan $\frac{d^2x}{dt^2}$ sebagai $\frac{dv}{dt}$ , di mana $v = \frac{dx}{dt}$ adalah kecepatan. Jadi, kita punya:

m \frac{dv}{dt} = F(x)

Sekarang kita ingin memecahkan persamaan ini. Untuk itu, kita akan menggunakan separasi variabel. Namun, kita perlu menghubungkan kecepatan dengan posisi, sehingga kita bisa mengganti $\frac{dv}{dt}$ dengan $\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$ . Dengan demikian, persamaan gerak berubah menjadi:

m v \frac{dv}{dx} = F(x)

3. Solusi untuk Gaya yang Bergantung pada Posisi

Sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk menemukan hubungan antara posisi dan waktu.

3.1 Integrasi Persamaan Gerak

Misalkan kita ingin mencari kecepatan $v$ sebagai fungsi posisi $x$ . Dari persamaan $m v \frac{dv}{dx} = F(x)$ , kita dapat menulisnya sebagai:

v dv = \frac{F(x)}{m} dx

Sekarang kita integrasikan kedua sisi:

\int v dv = \frac{1}{m} \int F(x) dx

Setelah mengintegrasi, kita akan mendapatkan ekspresi untuk kecepatan sebagai fungsi posisi.

3.2 Contoh Kasus: Gaya Pemulih (Spring Force)

Sebagai contoh, mari kita lihat kasus gaya yang bergantung pada posisi dalam sistem pegas, yang mengikuti hukum Hooke, yaitu:

F(x) = -kx

Di mana:

$k$ adalah konstanta pegas,
$x$ adalah posisi benda dari titik setimbang (posisi keseimbangan).

Dengan gaya seperti ini, kita punya persamaan gerak:

m v \frac{dv}{dx} = -kx

Atau:

v dv = -\frac{k}{m} x dx

Integrasi kedua sisi:

\int v dv = -\frac{k}{m} \int x dx

Hasil integrasi:

\frac{v^2}{2} = -\frac{k}{2m} x^2 + C

Di mana $C$ adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan berdasarkan kondisi awal. Misalkan pada $x = 0$ , kecepatan $v = v_0$ , maka $C = \frac{v_0^2}{2}$ . Jadi, kita mendapatkan persamaan untuk kecepatan:

\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} - \frac{k}{2m} x^2

Atau:

v(x) = \sqrt{v_0^2 - \frac{k}{m} x^2}

Ini adalah kecepatan sebagai fungsi posisi untuk sistem pegas.

3.3 Posisi Sebagai Fungsi Waktu

Sekarang, kita ingin mencari posisi $x(t)$ sebagai fungsi waktu. Untuk itu, kita tahu bahwa $v = \frac{dx}{dt}$ , jadi kita dapat menulis:

\frac{dx}{dt} = \sqrt{v_0^2 - \frac{k}{m} x^2}

Kita pisahkan variabelnya:

\frac{dx}{\sqrt{v_0^2 - \frac{k}{m} x^2}} = dt

Sekarang, kita integrasikan kedua sisi. Bagian kiri membutuhkan integrasi dengan substitusi trigonometri atau metode lainnya, yang hasilnya adalah:

x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)

Ini adalah solusi untuk posisi benda yang bergerak dalam gaya pemulih, di mana benda bergerak secara harmonis.

4. Ringkasan Persamaan untuk Gaya Bergantung Posisi

Jika gaya bergantung pada posisi, kita bisa menyelesaikan persamaan gerak menggunakan teknik kalkulus dan integrasi. Sebagai contoh:

Kecepatan sebagai Fungsi Posisi:
$v(x) = \sqrt{v_0^2 - \frac{k}{m} x^2}$
Posisi sebagai Fungsi Waktu:
$x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)$

5. Contoh Kasus

Misalkan sebuah benda bermassa $m = 0.5 \, \text{kg}$ terhubung dengan pegas yang memiliki konstanta $k = 10 \, \text{N/m}$ , dan benda tersebut diberi kecepatan awal $v_0 = 2 \, \text{m/s}$ . Tentukan kecepatan dan posisi benda setelah beberapa detik.

Kecepatan saat $x = 0.1 \, \text{m}$ :

v = \sqrt{v_0^2 - \frac{k}{m} x^2} = \sqrt{2^2 - \frac{10}{0.5} (0.1)^2}

v \approx \sqrt{4 - 4} = 0 \, \text{m/s}

Posisi setelah beberapa detik:

Untuk posisi setelah waktu tertentu $t$ , kita menggunakan:

x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)

Jika $t = 2 \, \text{detik}$ , maka kita dapat menghitung posisi benda pada waktu tersebut.

Demikian materi singkat mengenai solusi persamaan Newton untuk fungsi gaya yang bergantung terhadap posisi. Semoga bermanfaat!

zsmart.id