Solusi Persamaan Newton Untuk Gaya Sebagai Fungsi Kecepatan F=F(v)

Zsmart.id - Sekarang kita akan membahas kasus di mana gaya yang bekerja pada suatu benda bergantung terhadap kecepatan benda tersebut. Biasanya, gaya yang bergantung pada kecepatan sering ditemukan dalam situasi seperti hambatan udara (drag force) atau gaya gesekan, yang biasanya berbanding lurus dengan kecepatan benda.

1. Hukum Kedua Newton untuk Gaya yang Bergantung pada Kecepatan

Misalkan gaya $F(v)$ bergantung terhadap kecepatan $v$, maka persamaan hukum kedua Newton menjadi:

$$F(v) = ma$$

Dengan percepatan $a = \frac{dv}{dt}$, maka kita bisa menuliskan persamaan ini sebagai:

$$F(v) = m \frac{dv}{dt}$$

Namun, kita tahu bahwa kecepatan $v$ adalah fungsi waktu, jadi $\frac{dv}{dt}$ adalah turunan dari kecepatan terhadap waktu. Sekarang, karena gaya bergantung pada kecepatan $v$, kita bisa menulis:

$$F(v) = m \frac{dv}{dt}$$

Dengan gaya $F(v)$ sebagai fungsi dari kecepatan, kita ingin menyelesaikan persamaan ini. Untuk itu, kita bisa menggunakan kalkulus untuk menemukan hubungan antara kecepatan dan posisi dari waktu ke waktu.

2. Persamaan untuk Gaya yang Bergantung pada Kecepatan

Jika $F(v)$ adalah gaya yang bergantung pada kecepatan, kita bisa menyelesaikan persamaan gerakan ini dengan cara yang serupa seperti sebelumnya, dengan menggunakan konsep separasi variabel. Misalnya, untuk gaya hambatan udara, gaya sering kali proporsional dengan kecepatan, yaitu:

$$F(v) = -bv$$

Di mana:

• $b$ adalah konstanta yang menggambarkan kekuatan hambatan,
• $v$ adalah kecepatan benda.

Tanda minus menunjukkan bahwa gaya hambatan berlawanan arah dengan arah gerakan benda.

3. Solusi untuk Persamaan Gerak dengan Gaya Hambatan yang Bergantung pada Kecepatan

Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan $F(v) = -bv$ untuk kasus gaya hambatan yang berbanding lurus dengan kecepatan.

3.1 Menentukan Percepatan

Dari hukum Newton:

$$ma = -bv$$

Karena percepatan $a = \frac{dv}{dt}$, maka persamaan ini menjadi:

$$m \frac{dv}{dt} = -bv$$

Atau,

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{b}{m} v$$

Ini adalah persamaan diferensial pertama yang menggambarkan perubahan kecepatan seiring waktu untuk gaya yang berbanding lurus dengan kecepatan.

3.2 Solusi Persamaan Diferensial

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita menggunakan teknik separasi variabel. Kita dapat menulis persamaan di atas sebagai:

$$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m} dt$$

Sekarang, kita integrasikan kedua sisi. Di sebelah kiri, kita mengintegrasikan terhadap $v$, dan di sebelah kanan, kita mengintegrasikan terhadap $t$:

$$\int \frac{1}{v} dv = -\frac{b}{m} \int dt$$

Hasil integrasi ini memberikan:

$$\ln |v| = -\frac{b}{m} t + C$$

Di mana $C$ adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan berdasarkan kondisi awal. Jika kita eksponensialkan kedua sisi, kita memperoleh:

$$v(t) = v_0 e^{-\frac{b}{m} t}$$

Di mana:

• $v_0$ adalah kecepatan awal pada $t = 0$.

Jadi, kecepatan benda menurun secara eksponensial seiring berjalannya waktu, yang merupakan sifat khas dari gerakan dengan gaya hambatan yang bergantung pada kecepatan.

3.3 Posisi sebagai Fungsi Waktu

Untuk menemukan posisi $x(t)$, kita perlu mengintegrasikan kecepatan $v(t)$. Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi, yaitu:

$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$

Sehingga, kita bisa menulis persamaan posisi sebagai:

$$x(t) = \int v(t) \, dt = \int v_0 e^{-\frac{b}{m} t} \, dt$$

Integrasi ini menghasilkan:

$$x(t) = -\frac{m}{b} v_0 e^{-\frac{b}{m} t} + C'$$

Di mana $C'$ adalah konstanta integrasi yang dapat ditentukan berdasarkan kondisi awal. Jika posisi awal benda $x(0) = 0$, maka:

$$x(t) = \frac{m}{b} v_0 \left( 1 - e^{-\frac{b}{m} t} \right)$$

Jadi, posisi benda sebagai fungsi waktu adalah:

$$x(t) = \frac{m}{b} v_0 \left( 1 - e^{-\frac{b}{m} t} \right)$$

Ini menunjukkan bahwa posisi benda mendekati nilai tetap seiring waktu (karena eksponensial $e^{-\frac{b}{m} t}$ semakin kecil), yang mencerminkan fakta bahwa benda akan mencapai kecepatan terminal (kecepatan tetap) dalam gerakan dengan hambatan.

4. Ringkasan Persamaan

Untuk gaya yang bergantung pada kecepatan (misalnya gaya hambatan udara yang berbanding lurus dengan kecepatan):

1. Kecepatan (v):

   $$v(t) = v_0 e^{-\frac{b}{m} t}$$

   Di mana:

   • $v_0$ adalah kecepatan awal,
   • $b$ adalah konstanta hambatan,
   • $m$ adalah massa benda.

2. Posisi (x):

   $$x(t) = \frac{m}{b} v_0 \left( 1 - e^{-\frac{b}{m} t} \right)$$

5. Contoh Kasus

Misalkan sebuah benda dengan massa $m = 2 \, \text{kg}$ bergerak dalam medium dengan gaya hambatan yang berbanding lurus dengan kecepatan, dan gaya hambatan tersebut memiliki konstanta $b = 1 \, \text{kg/s}$. Benda ini mulai bergerak dengan kecepatan awal $v_0 = 10 \, \text{m/s}$.

1. Kecepatan setelah 5 detik:

$$v(5) = 10 e^{-\frac{1}{2} \times 5} = 10 e^{-2.5} \approx 10 \times 0.082 \approx 0.82 \, \text{m/s}$$

2. Posisi setelah 5 detik:

$$x(5) = \frac{2}{1} \times 10 \left( 1 - e^{-\frac{1}{2} \times 5} \right)$$ $$x(5) = 20 \left( 1 - e^{-2.5} \right) \approx 20 \times (1 - 0.082) \approx 20 \times 0.918 \approx 18.36 \, \text{m}$$

Jadi, setelah 5 detik, kecepatan benda adalah sekitar $0.82 \, \text{m/s}$ dan posisi benda adalah sekitar $18.36 \, \text{m}$.

Demikian materi singkat mengenai solusi persamaan Newton untuk fungsi gaya yang bergantung terhadap kecepatan. Semoga bermanfaat!

Share :