Solusi Persamaan Newton Untuk Gaya Sebagai Fungsi Waktu F=F(t)

Zsmart.id - Pada artikel sebelumnya, kita mengentahui bagaimana untuk menentukan besaran-besaran kinematika dari suatu benda yang bergerak dengan gaya yang konstan. Namun, bagaimana jika gaya berada dalam keadaan bergantung waktu?

Jika gaya yang bekerja pada benda bergantung terhadap waktu, kita akan memerlukan pendekatan yang sedikit lebih kompleks. Gaya yang bergantung terhadap waktu bisa digambarkan sebagai 

$F(t)$, yang berarti gaya berubah seiring berjalannya waktu.

Mari kita mulai dengan menurunkan persamaan gerak berdasarkan gaya yang bergantung pada waktu, dan kemudian menggunakan kalkulus untuk menentukan percepatan, kecepatan, dan posisi benda.

1. Hukum Kedua Newton untuk Gaya Bergantung Waktu

Hukum Kedua Newton tetap berlaku, yaitu:

$$F(t) = \frac{dp}{dt}$$

Namun, karena gaya $F(t)$ bergantung terhadap waktu, kita perlu menuliskan momentum $p(t)$ sebagai fungsi waktu:

$$p(t) = m v(t)$$

Sehingga, kita dapat menuliskan persamaan:

$$F(t) = \frac{d}{dt} \left( m v(t) \right)$$

Karena massa $m$ benda adalah konstan, kita bisa menurunkan persamaan ini:

$$F(t) = m \frac{dv(t)}{dt}$$

Dari sini, kita bisa melihat bahwa percepatan $a(t)$ adalah turunan dari kecepatan $v(t)$ terhadap waktu:

$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{F(t)}{m}$$

Jadi, percepatan benda pada waktu $t$ adalah gaya pada waktu $t$ dibagi dengan massa benda.

2. Solusi Menggunakan Kalkulus

2.1 Persamaan Percepatan

Karena $F(t)$ adalah fungsi waktu, percepatan $a(t)$ juga akan bergantung pada waktu:

$$a(t) = \frac{F(t)}{m}$$

Untuk menemukan kecepatan $v(t)$, kita harus mengintegrasikan percepatan terhadap waktu.

2.2 Persamaan Kecepatan

Kecepatan adalah turunan dari posisi, dan kita dapat menemukan kecepatan dengan mengintegrasikan percepatan $a(t)$:

$$v(t) = v_0 + \int_0^t a(t') \, dt'$$

Karena $a(t) = \frac{F(t)}{m}$, maka kita bisa menggantikan $a(t)$ dengan $\frac{F(t)}{m}$:

$$v(t) = v_0 + \frac{1}{m} \int_0^t F(t') \, dt'$$

Di sini, $v_0$ adalah kecepatan awal pada waktu $t = 0$, dan $F(t')$ adalah gaya yang bekerja pada waktu $t'$.

2.3 Persamaan Posisi

Posisi benda dapat ditemukan dengan mengintegrasikan kecepatan terhadap waktu:

$$x(t) = x_0 + \int_0^t v(t') \, dt'$$

Dengan menggantikan $v(t')$ ke dalam persamaan ini:

$$x(t) = x_0 + \int_0^t \left( v_0 + \frac{1}{m} \int_0^{t'} F(t'') \, dt'' \right) dt'$$

Persamaan ini bisa menjadi sangat kompleks tergantung pada bentuk fungsi gaya $F(t)$, namun ini adalah langkah umum untuk menemukan posisi benda.

3. Contoh: Gaya yang Bergantung Secara Linear terhadap Waktu

Sebagai contoh, misalkan gaya yang bekerja pada benda bergantung secara linear terhadap waktu, yaitu:

$$F(t) = F_0 + \alpha t$$

Di mana:

• $F_0$ adalah gaya awal pada waktu $t = 0$,
• $\alpha$ adalah konstanta yang menunjukkan perubahan gaya terhadap waktu.

3.1 Percepatan

Percepatan benda pada waktu $t$ adalah:

$$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{F_0 + \alpha t}{m}$$

3.2 Kecepatan

Untuk menemukan kecepatan $v(t)$, kita mengintegrasikan percepatan $a(t)$:

$$v(t) = v_0 + \int_0^t \frac{F_0 + \alpha t'}{m} \, dt'$$

Integrasi dilakukan terhadap $t'$:

$$v(t) = v_0 + \frac{1}{m} \left[ F_0 t + \frac{\alpha t^2}{2} \right]$$

Jadi, kecepatan benda pada waktu $t$ adalah:

$$v(t) = v_0 + \frac{F_0}{m} t + \frac{\alpha}{2m} t^2$$

3.3 Posisi

Untuk menemukan posisi $x(t)$, kita mengintegrasikan kecepatan $v(t)$:

$$x(t) = x_0 + \int_0^t \left( v_0 + \frac{F_0}{m} t' + \frac{\alpha}{2m} {t'}^2 \right) dt'$$

Integrasi terhadap $t'$ memberikan:

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{F_0}{2m} t^2 + \frac{\alpha}{6m} t^3$$

Jadi, posisi benda pada waktu $t$ adalah:

$$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{F_0}{2m} t^2 + \frac{\alpha}{6m} t^3$$

4. Ringkasan Materi

Jika gaya $F(t)$ bergantung terhadap waktu, kita dapat menentukan percepatan, kecepatan, dan posisi benda dengan cara berikut:

1. Percepatan (a):

   $$a(t) = \frac{F(t)}{m}$$

2. Kecepatan (v):

   $$v(t) = v_0 + \frac{1}{m} \int_0^t F(t') \, dt'$$

3. Posisi (x):

   $$x(t) = x_0 + \int_0^t v(t') \, dt'$$

5. Contoh Kasus: Gaya Linear terhadap Waktu

Misalkan gaya yang bekerja pada benda adalah $F(t) = 10 + 2t$ N, dan benda memiliki massa $5 \, \text{kg}$. Tentukan kecepatan dan posisi benda pada waktu $t = 3$ detik, jika $v_0 = 0$ dan $x_0 = 0$.

1. Percepatan:

$$a(t) = \frac{10 + 2t}{5} = 2 + 0.4t$$

2. Kecepatan setelah 3 detik:

$$v(3) = 0 + \frac{1}{5} \int_0^3 (10 + 2t) \, dt$$ $$v(3) = \frac{1}{5} \left[ 10t + t^2 \right]_0^3 = \frac{1}{5} \left[ 10 \times 3 + 3^2 \right]$$ $$v(3) = \frac{1}{5} (30 + 9) = \frac{39}{5} = 7.8 \, \text{m/s}$$

3. Posisi setelah 3 detik:

$$x(3) = 0 + \int_0^3 \left( 0 + \frac{1}{5} \int_0^t (10 + 2t') \, dt' \right)$$

Ini adalah cara umum untuk mengatasi masalah gaya yang bergantung terhadap waktu. 

Demikian informasi singkat mengenai materi solusi persamaan Newton untuk gaya yang bergantung waktu. Semoga bermanfaat!

Share :