Gaya Sentral dan Energi Potensialnya

A. Definisi Gaya Sentral

Gaya sentral adalah gaya yang bekerja antara dua benda dan hanya bergantung pada jarak antara kedua benda tersebut, serta arah gaya selalu menuju atau menjauhi titik pusat (biasanya pusat massa atau pusat suatu objek). Gaya ini merupakan gaya yang memiliki arah yang sejajar dengan vektor posisi dan selalu mengarah ke atau menjauhi pusat (titik pusat gaya).

Secara matematis, gaya sentral dapat ditulis dalam bentuk persamaan vektor sebagai berikut:

1. Persamaan Vektor Gaya Sentral

Jika kita memiliki dua objek yang saling berinteraksi, dengan posisi relatif mereka yang diberikan oleh vektor posisi $\mathbf{r}$, maka gaya sentral $\mathbf{F}$ dapat dituliskan sebagai:

$$\mathbf{F} = f(r) \hat{\mathbf{r}}$$

Di mana:

• $\mathbf{F}$ adalah gaya sentral yang bekerja pada objek tersebut.
• $f(r)$ adalah fungsi gaya yang bergantung pada jarak $r$ antara kedua objek, yaitu $r = |\mathbf{r}|$, dengan $r$ adalah panjang vektor posisi relatif antara kedua objek.
• $\hat{\mathbf{r}}$ adalah vektor satuan yang searah dengan vektor posisi relatif $\mathbf{r}$, yang menyatakan arah gaya.

2. Komponen Fungsi Gaya $f(r)$

Fungsi gaya $f(r)$ yang bergantung pada jarak dapat memiliki berbagai bentuk, tergantung pada jenis gaya yang sedang dibahas. Beberapa contoh gaya sentral yang umum digunakan:

• Gaya Gravitasi (hukum gravitasi Newton):

  $$\mathbf{F} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Di sini, $G$ adalah konstanta gravitasi universal, $m_1$ dan $m_2$ adalah massa dua objek, dan $\hat{\mathbf{r}}$ adalah vektor satuan yang mengarah dari objek 1 ke objek 2.

• Gaya Coulomb (gaya elektrostatik antara dua muatan listrik):

  $$\mathbf{F} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Di sini, $k_e$ adalah konstanta elektrostatik, $q_1$ dan $q_2$ adalah besar muatan listrik pada dua objek, dan $\hat{\mathbf{r}}$ adalah vektor satuan yang mengarah dari muatan 1 ke muatan 2.

• Gaya Van der Waals: Gaya Van der Waals juga merupakan gaya sentral, meskipun biasanya berlaku pada jarak sangat dekat. Bentuk gaya ini dapat bervariasi, seperti gaya dispersi yang bergantung pada $\frac{1}{r^6}$, namun ia tetap memiliki bentuk sentral, yaitu hanya bergantung pada jarak antar partikel:

  $$\mathbf{F} = - \frac{A}{r^7} \hat{\mathbf{r}} + \frac{B}{r^{13}} \hat{\mathbf{r}}$$

  Di mana $A$ dan $B$ adalah konstanta yang bergantung pada sifat materi dan jenis interaksi.

3. Penjelasan Elemen dalam Persamaan Vektor

• $\mathbf{r}$: Vektor posisi relatif antara dua objek. Jika objek pertama terletak pada posisi $\mathbf{r}_1$ dan objek kedua pada posisi $\mathbf{r}_2$, maka $\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$ adalah vektor yang mengarah dari objek pertama ke objek kedua.

• $f(r)$: Fungsi gaya ini menggambarkan besarnya gaya yang bekerja antara kedua objek, yang bergantung hanya pada jarak $r$. Sebagai contoh, untuk gaya gravitasi dan gaya Coulomb, $f(r) \propto \frac{1}{r^2}$, sedangkan untuk gaya Van der Waals bisa bergantung pada bentuk yang lebih rumit seperti $\frac{1}{r^6}$ atau $\frac{1}{r^{12}}$.

• $\hat{\mathbf{r}}$: Vektor satuan yang menunjukkan arah gaya. Vektor satuan ini adalah $\hat{\mathbf{r}} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$, yang memastikan bahwa arah gaya selalu sejajar dengan vektor posisi $\mathbf{r}$, dan besar gaya hanya bergantung pada jarak $r$.

4. Sifat Gaya Sentral

• Gaya sentral selalu bekerja di sepanjang garis yang menghubungkan dua objek.
• Besar gaya bergantung hanya pada jarak antara dua objek, tidak tergantung pada arah relatif objek-objek tersebut selain pada orientasi sepanjang garis penghubung.
• Gaya ini dapat bersifat menarik (seperti gaya gravitasi dan gaya elektrostatik untuk muatan berlawanan tanda) atau menolak (seperti gaya elektrostatik antara dua muatan dengan tanda yang sama).

5. Contoh Gaya Sentral dalam Bentuk Vektor

• Gaya Gravitasi antara dua objek bermassa $m_1$ dan $m_2$:

  $$\mathbf{F} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Gaya ini selalu menarik kedua objek menuju satu sama lain, mengikuti hukum gravitasi Newton.

• Gaya Coulomb antara dua muatan $q_1$ dan $q_2$:

  $$\mathbf{F} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Gaya ini bisa menarik atau menolak, tergantung pada tanda muatan listrik.

B. Potensial Energi Pada Gaya Sentral

Untuk membahas potensial dalam gaya sentral, kita akan memulai dengan mendefinisikan fungsi potensial dalam sistem gaya sentral, dan kemudian mengaitkannya dengan sifat konservatif dari gaya tersebut, serta hubungan dengan persamaan $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, yang menyatakan bahwa gaya konservatif memiliki rotasi nol.

1. Potensial Energi dalam Gaya Sentral (Bentuk Vektor)

Gaya sentral adalah gaya yang hanya bergantung pada jarak $r$ antara dua benda dan arahnya selalu mengarah menuju atau menjauhi titik pusat interaksi. Dalam bentuk persamaan vektor, gaya sentral dapat ditulis sebagai:

$$\mathbf{F} = f(r) \hat{\mathbf{r}}$$

di mana:

• $\mathbf{F}$ adalah gaya sentral,
• $f(r)$ adalah fungsi gaya yang bergantung pada jarak $r$,
• $\hat{\mathbf{r}}$ adalah vektor satuan yang searah dengan vektor posisi $\mathbf{r}$ yang menghubungkan dua objek.

Potensial energi $V(r)$ terkait dengan gaya ini, dan dapat ditemukan melalui hubungan antara gaya dan potensial:

$$\mathbf{F} = -\nabla V(r)$$

Karena gaya sentral bergantung hanya pada jarak $r$, potensial energi $V(r)$ adalah fungsi dari $r$ saja (tidak bergantung pada arah). Jadi, kita dapat menuliskan persamaan untuk gaya dalam bentuk vektor:

$$\mathbf{F} = -\frac{dV(r)}{dr} \hat{\mathbf{r}}$$

2. Menentukan Potensial Energi $V(r)$

Untuk menemukan bentuk potensial $V(r)$, kita harus mengintegrasi gaya $\mathbf{F}$ terhadap jarak $r$. Misalnya, jika gaya $\mathbf{F}$ diberikan dalam bentuk $f(r)$, yaitu:

$$\mathbf{F} = f(r) \hat{\mathbf{r}}$$

Maka, kita dapat menemukan potensial energi dengan mengintegrasi gaya:

$$V(r) = - \int f(r) \, dr$$

Beberapa contoh gaya sentral dan potensial energi terkait:

• Gaya Gravitasi (Newtonian): Gaya gravitasi antara dua objek bermassa $m_1$ dan $m_2$ adalah gaya menarik yang bergantung pada jarak $r$ sebagai $\frac{1}{r^2}$:

  $$\mathbf{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Potensial energi gravitasi:

  $$V(r) = -\frac{G m_1 m_2}{r}$$

• Gaya Coulomb (Elektrostatik): Gaya Coulomb antara dua muatan $q_1$ dan $q_2$ adalah gaya tarik-menarik atau tolak-menolak yang bergantung pada jarak $r$ sebagai $\frac{1}{r^2}$:

  $$\mathbf{F} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

  Potensial energi Coulomb:

  $$V(r) = \frac{k_e q_1 q_2}{r}$$

3. Sifat Konservatif dari Gaya Sentral

Gaya dikatakan konservatif jika kerjanya hanya bergantung pada posisi awal dan akhir, dan tidak bergantung pada lintasan yang ditempuh oleh objek. Dengan kata lain, gaya konservatif memiliki potensial energi yang terkait dengan sistem tersebut.

Gaya sentral adalah gaya konservatif, karena kita dapat menemukan fungsi potensial $V(r)$ yang sesuai dengan gaya $\mathbf{F}(r)$, dan kerja yang dilakukan oleh gaya ini hanya bergantung pada perubahan jarak $r$ antara objek yang berinteraksi, tidak tergantung pada lintasan yang dilalui.

4. Hubungan dengan Persamaan $\nabla \times \mathbf{F} = 0$

Salah satu sifat utama dari gaya konservatif adalah bahwa rotasi gaya (atau vektor curl dari gaya) adalah nol. Dalam bentuk matematis, ini berarti:

$$\nabla \times \mathbf{F} = 0$$

Untuk gaya konservatif, ini menyatakan bahwa gaya tidak memiliki komponen melingkar atau berputar. Ini berkaitan langsung dengan fakta bahwa gaya dapat diperoleh sebagai gradien dari suatu fungsi potensial energi $V(r)$:

$$\mathbf{F} = -\nabla V(r)$$

Jika gaya $\mathbf{F}$ adalah gradien dari suatu fungsi skalar, maka curl (rotasi) dari gradien itu selalu nol:

$$\nabla \times (\nabla V) = 0$$

Jadi, gaya sentral adalah gaya konservatif, dan kita dapat menulis:

$$\nabla \times \mathbf{F} = 0$$

Ini berarti gaya sentral tidak menyebabkan rotasi atau perputaran pada objek yang mengalaminya, hanya memberikan perubahan energi potensial yang bergantung pada posisi objek.

C. Contoh Kasus Gaya Sentral

Sebuah objek kecil dengan massa $m$ berada pada jarak $r$ dari pusat massa yang lebih besar dengan massa $M$. Potensial gravitasi antara objek tersebut dan pusat massa lebih besar diberikan oleh:

$$V(r)=-\frac{GMm}{r}$$

Tentukan:

1. Gaya yang bekerja pada objek kecil.
2. Komponen-komponen gaya dalam koordinat kartesian.

Penyelesaian:

1. Mencari Gaya

Untuk mencari gaya $\mathbf{F}$, kita menggunakan hubungan antara gaya dan gradien dari potensial energi. Gaya adalah negatif gradien dari potensial energi:

$$\mathbf{F} = - \nabla V(r)$$

Potensial energi $V(r) = -\frac{GMm}{r}$ hanya bergantung pada jarak $r$, jadi kita hanya perlu menghitung gradien dalam koordinat radial.

Gradien dari $V(r)$ dalam koordinat sferis, di mana $r$ adalah jarak radial, adalah:

$$\nabla V(r) = \frac{dV}{dr} \hat{\mathbf{r}}$$

Sekarang kita turunkan potensial terhadap $r$:

$$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( -\frac{GMm}{r} \right) = \frac{GMm}{r^2}$$

Dengan demikian, gradiennya adalah:

$$\nabla V(r) = \frac{GMm}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Karena gaya $\mathbf{F} = - \nabla V(r)$, maka:

$$\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

2. Komponen-komponen Gaya dalam Koordinat Kartesian

Untuk menulis gaya dalam koordinat kartesian, kita ingat bahwa $\hat{\mathbf{r}}$ adalah vektor satuan radial yang mengarah dari pusat massa ke objek kecil. Dalam koordinat kartesian, vektor satuan radial $\hat{\mathbf{r}}$ dapat dinyatakan sebagai:

$$\hat{\mathbf{r}} = \frac{x}{r} \hat{i} + \frac{y}{r} \hat{j} + \frac{z}{r} \hat{k}$$

di mana $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ adalah jarak antara pusat massa dan objek kecil.

Dengan demikian, gaya $\mathbf{F}$ dalam bentuk kartesian adalah:

$$\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2} \left( \frac{x}{r} \hat{i} + \frac{y}{r} \hat{j} + \frac{z}{r} \hat{k} \right)$$

Atau lebih jelasnya, komponen-komponen gaya adalah:

$$F_x = - \frac{GMm}{r^3} x$$ $$F_y = - \frac{GMm}{r^3} y$$ $$F_z = - \frac{GMm}{r^3} z$$

Berdasarkan hasil yang diproleh, maka didapatkan bahwa:

1. Gaya yang bekerja pada objek kecil:

$$\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

2. Komponen-komponen gaya dalam koordinat kartesian:

$$F_x = - \frac{GMm}{r^3} x, \quad F_y = - \frac{GMm}{r^3} y, \quad F_z = - \frac{GMm}{r^3} z$$

Demikian materi singkat mengenai gaya sentral dan energi potensial yang berlaku pada sistem gaya sentral. Semoga bermanfaat!

Share :