Kinematika Satu Partikel Pada Koordinat Bola

A. Definisi Umum Koordinat Bola

Koordinat bola adalah sistem koordinat yang digunakan untuk menentukan posisi suatu titik dalam ruang tiga dimensi (3D). Sistem koordinat ini menggunakan tiga parameter utama, yaitu:

1. Jari-jari (r): Merupakan jarak dari titik asal (titik pusat bola) ke titik yang dicari dalam ruang. Nilai r selalu positif.
2. Sudut Azimutal (θ): Sudut ini mengukur posisi titik dalam bidang horizontal, yakni sudut yang dibentuk antara proyeksi titik pada bidang xy dan sumbu x. Nilai θ berkisar antara 0 hingga 2π (atau 0° hingga 360°).
3. Sudut Polar (ϕ): Sudut ini mengukur posisi titik pada sumbu vertikal, yaitu sudut antara vektor posisi titik dan sumbu z. Nilai ϕ berkisar antara 0 hingga π (atau 0° hingga 180°). 

Secara ilustrasi, sistem koordinat bola dapat dilihat sesuai gambar berikut:

Sumber: mathworld.wolfram.com

Berdasarkan gambar di atas, terdapat hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat bola yakni:

\[x = r \sin(\phi) \cos(\theta)\]

\[y = r \sin(\phi) \sin(\theta)\]

\[z = r \cos(\phi)\]

Kemudian, untuk mengubah koordinat kartesius (x, y, z) kembali menjadi koordinat bola, persamaannya adalah:

\[r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

\[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\]

\[\phi = \cos^{-1}\left(\frac{z}{r}\right)\]

B. Vektor Satuan Pada Koordinat Bola

Seperti halnya pada koordinat kartesian, koordinat bola memiliki vektor satuan yakni:

1. Vektor dalam arah radial dapat diketahui dengan menggunakan prinsip vektor satuan yakni:
   \[\hat{r} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\]
   Dengan panjang vektor posisi r adalah r. Selanjutnya adalah perlu didefinisikan persamaan vektor posisi r dari partikel tersebut yakni:
   \[\mathbf{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\]
   Kemudian, dengan melakukan subtitusi ke persamaan x,y dan z pada hubungan antara koordinat kartesian dan bola yang telah diketahui di awal, maka diperoleh:
   \[\mathbf{r} = r \sin(\phi) \cos(\theta) \hat{i} + r \sin(\phi) \sin(\theta) \hat{j} + r \cos(\phi) \hat{k}\]
   Sehingga, persamaan vektor satuan dalam arah radial dapat dituliskan ke dalam bentuk persaman:
   \[\hat{r} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\]
   \[\hat{r} = \frac{r \sin(\phi) \cos(\theta) \hat{i} + r \sin(\phi) \sin(\theta) \hat{j} + r \cos(\phi) \hat{k}}{r}\]
   dan diperoleh bentuk sederhana yakni
   \[\hat{r} = \sin(\phi) \cos(\theta) \hat{i} + \sin(\phi) \sin(\theta) \hat{j} + \cos(\phi) \hat{k}\]
   
   
2. Vektor satuan dalam arah sudut polar (atau colatitude) dalam bidang xy. 
   \[\hat{\theta}=\frac{\frac{d\textbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\textbf{r}}{d\theta}\right|}\]
   \[\hat{\theta}=-sin\theta\hat{i}+cos\theta\hat{j}\]
   
   
3. Vektor satuan dalam arah azimuthal
   \[\hat{\phi}=\frac{\frac{d\textbf{r}}{d\phi}}{\left|\frac{d\textbf{r}}{d\phi}\right|}\]
   \[\hat{\phi}=cos\theta cos\phi\hat{i}+sin\theta cos\phi\hat{j}-sin\phi\hat{k}\]

Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan-persamaan kinematika satu partikel pada koordinat bola, maka perlu diketahui beberapa relasi atau hubungan dari vektor-vektor satuan tersebut yakni: 

C. Persamaan Kinematika Pada Koordinat Bola

Persamaan-persamaan kinematika pada koordinat bola meliputi persamaan dalam menentukan posisi, kecepatan dan percepatan pada koordinat bola. Dengan menerapkan persamaan diferensial dari persamaan posisi untuk mencari persamaan kecepatan dan percepatan, maka diperoleh untuk gerak partikel dalam koordinat bola berlaku:

1. Persamaan Posisi

\[\textbf{r}=r\hat{r}\]

2. Persamaan Kecepatan

\[\dot{\textbf{r}}=\dot{r}\hat{r}+rsin\phi\dot{\theta}\hat{\theta}+r\dot{\phi}\hat{\phi}\]

3. Persamaan Percepatan

D. Studi Kasus Kinematika Partikel Pada Koordinat Bola

Sebuah partikel bergerak dalam ruang sistem koordinat bola sebagai fungsi waktu dengan informasi sebagai berikut:

\[r\left(t\right)=3t^{2};\phi\left(t\right)=2t;\theta\left(t\right)=\pi t\]

Tentukan:

1. Persamaan kinematika partikel tersebut sebagai fungsi waktu
2. Besar posisi, kecepatan dan percepatan partikel setelah bergerak selama 2 detik!

Share :