Zsmart.id - Mekanika sistem satu partikel adalah cabang fisika yang mempelajari gerak suatu benda tunggal dalam ruang. Salah satu konsep dasar dalam mekanika adalah kinematika, yang fokus pada deskripsi gerakan benda tanpa memperhitungkan penyebab gerakan tersebut (gaya). Dalam konteks ini, kita akan mempelajari gerakan partikel dalam sistem koordinat kartesian (sistem koordinat yang menggunakan dua atau tiga sumbu, yaitu x, y, dan z, yang membentuk ruang tiga dimensi).
A. Sistem Koordinat Kartesian
Sistem koordinat kartesian 3 dimensi adalah sebuah sistem referensi geometris yang digunakan untuk menentukan posisi suatu titik di ruang tiga dimensi. Sistem ini menggunakan tiga sumbu saling tegak lurus yang disebut sumbu x, sumbu y dan sumbu z. Ilustrasi mengenai sistem koordinat ini dapat dilihat pada gambar berikut:
di mana pada masing-masing sumbu memiliki vektor satuan yakni pada sumbu x adalah i, sumbu y adalah j, dan sumbu z adalah k.
B. Kinematika Partikel Dalam Koordinat Kartesian
B.1. Persamaan Posisi
Pergerakan benda atau partikel yang meliputi posisi, kecepatan dan percepatan objek tersebut dapat diamati dengan menggunakan koordinat kartesian. Dalam menentukan posisi objek tersebut maka dalam koordinat kartesian dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan :
\[\textbf{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\]
B.2. Persamaan Kecepatan
Untuk menentukan kecepatan dari suatu partikel atau objek dalam koordinat kartesian dapat kita tentukan dengan menggunakan persamaan kecepatan sederhana yakni:
\[v=\frac{dr}{dt}\]
olehnya dalam koordinat kartesian 3 dimensi, persamaan kecepatan partikel dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan:
\[\textbf{v}=\frac{d\textbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\right)\]
\[\textbf{v}=\frac{d\textbf{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}\]
\[\textbf{v}=\frac{d\textbf{r}}{dt}=v_{x}+v_{y}+v_{z}\]
terlihat bahwa kecepatan partikel terbagi atas tiga komponen pada masing-masing sumbu pada koordinat kartesian.
B.3. Persamaan Percepatan
Untuk menentukan persamaan percepatannya, maka kita cukup melakukan operasi diferensial pada persamaan kecepatan yang telah kita peroleh. Sehingga, persamaan percepatan dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan:
\[\textbf{a}=\frac{d\textbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}\right)\]
\[\textbf{a}=\frac{d\textbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\hat{i}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\hat{j}+\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\hat{k}\]
\[\textbf{a}=\frac{d\textbf{v}}{dt}=a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}+a_{z}\hat{k}\]
terlihat bahwa percepatan partikel terbagi atas tiga komponen pada masing-masing sumbu pada koordinat kartesian.
C. Contoh Studi Kasus Kinematika Satu Partikel Pada Koordinat Kartesian
Sebuah partikel teramati pada keadaan awal berada pada posisi sebagai berikut:
\[\mathbf{r}(t) = (3t^2 - 2t)\hat{i} + (4t - 5)\hat{j} + (t^3 - 3t)\hat{k}\]
tentukanlah persamaan posisi, kecepatan dan percepatan partikel tersebut setelah bergerak selama 2 detik!
Solusi:
a) Untuk menentukan posisi benda saat bergerak selama 2 detik, maka kita cukup memasukkan t = 2 pada persamaan di atas dan diperoleh:
\[\textbf{r}\left(2\right)=8\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\]
yang besarnya dapat diperoleh yakni:
\[r=\left|\textbf{r}\right|=\sqrt{8^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{77}=8.7 satuan\]
b) Persamaan kecepatan dapat kita temukan dengan melakukan operasi turunan terhadap persamaan posisi yang diberikan pada soal dan diperoleh:
\[\textbf{v}=\frac{d\textbf{r}}{dt}=\left(6t-2\right)\hat{i}+4\hat{j}+\left(3t^{2}-3\right)\hat{k}\]
saat t=2 detik. kecepatan partikel tersebut adalah
\[\textbf{v}\left(2\right)=10\hat{i}+4\hat{j}+9\hat{k}\]
\[v=\left|\textbf{v}\right|=\sqrt{10^{2}+4^{2}+9^{2}}=\sqrt{197}=14.0satuan\]
Pada persamaan kecepatan di atas maka dapat dilihat bahwa kecepatan partikel terbagi atas tiga buah komponen pada masing-masing sumbu yakni pada sumbu x adalah 10 satuan, sumbu y adalah 4 satuan dan sumbu z adalah 9 satuan.
c) Persamaan percepatan dapat kita temukan dengan melakukan operasi turunan terhadap persamaan posisi yang diberikan pada soal
\[\textbf{a}=\frac{d\textbf{v}}{dt}=6\hat{i}+6t\hat{k}\]
\[\textbf{a}\left(2\right)=6\hat{i}+12\hat{k}\]
sehingga, besar percepatannya adalah:
\[a=\left|\textbf{a}\right|=\sqrt{6^{2}+12^{2}}=\sqrt{180}=13.4 satuan\]
Pada persamaan percepatan di atas maka dapat dilihat bahwa kecepatan partikel terbagi atas dua buah komponen pada masing-masing sumbu yakni pada sumbu x adalah 6 satuan dan sumbu z adalah 12 satuan.
D. Studi Kasus Kinematika Satu Partikel Pada Koordinat Kartesian
Tentukan besar posisi, kecepatan dan percepatan dari sebuah pertikel yang bergerak selama 4 detik yang memiliki persamaan posisi
\[\vec{r}(t) = (t^3 - 3t^2 + 2t) \hat{i} + (2t^2 - t) \hat{j}\]
Tentukan juga pada detik ke berapa sehingga posisi partikel tersebut sesuai dengan persamaan:
\[\textbf{r}(t)=3.33\hat{i}+12\hat{j}\]
Demikian materi singkat mengenai kinematika satu partikel pada koordinat kartesian. Semoga bermanfaat!
Post a Comment for "Kinematika Satu Partikel Pada Koordinat Kartesian"