Solusi Persamaan Schrödinger Bebas Waktu

Zsmart.id - Persamaan Schrödinger adalah salah satu fondasi utama dalam mekanika kuantum, menjelaskan bagaimana keadaan fisik dari suatu sistem kuantum berubah seiring waktu. Di antara berbagai bentuk persamaan Schrödinger, bentuk bebas waktu sangat penting, karena menggambarkan partikel tanpa pengaruh potensial eksternal.

Apa Itu Persamaan Schrödinger Bebas Waktu?

Persamaan Schrödinger bebas waktu dapat dinyatakan sebagai berikut:

\[i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2}\]

Di mana:

- \(i\) adalah unit imajiner,

- \(\hbar\) adalah konstanta Planck tereduksi,

- \(m\) adalah massa partikel,

- \(\psi(x, t)\) adalah fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan kuantum sistem

Dalam konteks persamaan Schrödinger bebas waktu, tidak adanya potensial mengacu pada situasi di mana partikel bergerak tanpa dipengaruhi oleh gaya luar atau medan potensial.

Langkah-langkah Pembuktian Persamaan Schrödinger Bebas Waktu

Pembuktian persamaan ini dimulai dengan asumsi bahwa fungsi gelombang dapat dipisahkan menjadi dua komponen: satu yang bergantung pada posisi (\(x\)) dan satu lagi yang bergantung pada waktu (\(t\)). Kita dapat mengekspresikan fungsi gelombang sebagai produk dari dua fungsi:

\[\psi(x, t) = \phi(x) T(t)\]

Dengan substitusi ini, kita dapat memasukkan bentuk \(\psi(x, t)\) ke dalam persamaan Schrödinger. Hasilnya adalah dua persamaan yang terpisah; satu untuk fungsi waktu dan satu untuk fungsi posisi.

Teknik Pemisahkan Variabel

Fungsi Gelombang dan Separasi Variabel: Kita bisa mencari solusi dari persamaan ini dengan memisahkan variabel, yaitu mengasumsikan bahwa fungsi gelombang dapat ditulis sebagai produk dari fungsi yang bergantung pada waktu dan ruang:

\[\psi(x, t) = \phi(x) T(t)\]

Substitusi ke Dalam Persamaan: Masukkan bentuk $\psi(x, t)$ ke dalam persamaan Schrödinger:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}(T(t)\varphi (x))=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}(T(t)\varphi (x))$$

Ini memberikan:

$$i\mathrm{\hslash }\varphi (x)\frac{dT(t)}{dt}=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m}T(t)\frac{d^2\varphi (x)}{d{x}^2}$$

Membagi Kedua Sisi: Kita bisa membagi kedua sisi dengan $\varphi (x)T(t)$:

$$\frac{i\mathrm{\hslash }}{T(t)}\frac{dT(t)}{dt}=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m\varphi (x)}\frac{d^2\varphi (x)}{d{x}^2}$$

Karena sisi kiri bergantung hanya pada $t$ dan sisi kanan hanya pada $x$, keduanya harus sama dengan suatu konstanta, katakanlah $E$:

$$\frac{i\mathrm{\hslash }}{T(t)}\frac{dT(t)}{dt}=E$$
$$-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2m\varphi (x)}\frac{d^2\varphi (x)}{d{x}^2}=E$$

Ketika kita membagi kedua sisi persamaan dengan \(\phi(x) T(t)\), kita mendapatkan dua persamaan yang terpisah:

1. Untuk \(T(t)\):

\[\frac{dT(t)}{dt} = -\frac{iE}{\hbar} T(t)\]

Persamaan ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan solusi eksponensial:

\[T(t) = T(0) e^{-\frac{iE}{\hbar} t}\]

2. Untuk \(\phi(x)\):

\[\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2} \phi(x)\]

Persamaan ini adalah persamaan diferensial biasa, dan solusinya berbentuk gelombang:

\[\phi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}\]

di mana \(k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\).

Solusi Umum

Dengan menggabungkan kedua solusi tersebut, kita dapat menuliskan solusi umum dari persamaan Schrödinger bebas waktu sebagai:

\[\psi(x, t) = \left(A e^{ikx} + B e^{-ikx}\right) e^{-\frac{iE}{\hbar} t}\]

Di sini, \(A\) dan \(B\) adalah koefisien yang menentukan amplitudo gelombang. Solusi ini menggambarkan bagaimana gelombang kuantum berpropagasi di ruang tanpa pengaruh dari potensi eksternal. 

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang $\psi(x, t)$ sering kali dinormalisasi sehingga total probabilitas dari menemukan partikel di seluruh ruang sama dengan 1. Saat kita menghitung normalisasi, kita bisa mengabaikan faktor konstan seperti $T(0)$ jika kita fokus pada bentuk umum dari solusi.

Persamaan Schrödinger bebas waktu memberikan wawasan yang mendalam tentang perilaku partikel dalam konteks kuantum. Dengan memahami cara kerja persamaan ini, kita dapat mengapresiasi kompleksitas dan keindahan mekanika kuantum. Ini bukan hanya sekadar persamaan matematis; ini adalah alat yang memungkinkan kita untuk memahami dunia subatomik yang penuh dengan keajaiban.

Share :