Teori Gas Elektron Bebas Drude-Lorentz

Zsmart.id. - Pada artikel kali ini, kita akan mendiskusikan mengenai perkembangan teori elektron bebas. Perkembangan teori elektron bebas ini didasarkan atas dua buah teori yakni teori yang dikemukanan oleh Drude dan Lorentz serta teori yang dikembangkan oleh Sommerfeld. 

A. Apa Itu Elektron Bebas ?

Sebelum membahas mengenai teori Drude-Lorentz, kita perlu mengetahui terlebih dahulu apa definisi dari elektron bebas. Pada dasarnya, eletkron-elektron penyusun dari suatu atom terikat secara stabil dengan pusat atom atau nukleus. Berdasarkan posisi elektron terhadap inti, elektron yang berada di kulit terluar di sebut sebagai elektron valensi.

Elektron valensi ini merupakan elektron yang memiliki energi terendah agar dapat terlepas dari inti atomnya. Misalkan, sebuah atom stabil kita berikan energi tertentu di mana energi ini nilainya lebih besar dari energi elektron valensi. Olehnya, elektron pada kulit terluar akan terlepas dan akan menjadi elektron bebas. 

Akibatnya, atom yang tadinya stabil kini atom tersebut akan berubah menjadi ion lebih tepatnya ion positif. Dalam pemaparan lebih lanjut, kumpulan elektron-elektron bebas dan ion-ion positif ini akan membentuk ikatan yang kita kenal sebagai ikatan logam. 

B. Teori Gas Elektron Bebas Drude-Lorentz

Dalam menjelaskan teori gas elektron bebas ini, Drude dan Lorentz membangunnya berdasarkan beberapa asumsi, yakni :

1. Drude mempostulatkan bahwa logam-logam terdiri atas inti-inti ion positif dan elektron valensi bergerak bebas disekitar inti-inti tersebut.
2. Elektron-elektron terikat dengan logam dikarenakan adanya interaksi elektrostatik antara elektron-elektron dengan inti-inti ion positif.
3. Medan potensial yang dihasilkan oleh inti-inti ion diasumsikan tetap.
4. Interaksi sesama muatan (elektron-elektron atau inti dan inti) diabaikan.
5. Prilaku elektron-elektron bebas yang bergerak di dalam logam seperti layaknya atom-atom atau molekul-molekul pada gas ideal.
6. Lorentz mempostulatkan bahwa elektron-elektron memenuhi pada distribusi statistik Maxwell-Boltzman.

Berdasarkan asumsi-asumsi ini, teori Drude-Lorentz dapat menjelaskan dengan baik mengenai fenomena resistivitas listrik dan termal pada logam-logam murni.

Ilustrasi pergerakan elektron di d alam logam (biru = elektron, merah = inti ion positif)

C. Teori Gas Elektron Bebas Dalam Menjelaskan Hukum Ohm

Dalam menjelaskan hal ini, misalkan kita memiliki suatu potongan kawat yang panjangnya L dan memiliki luas penampang sebesar A. Sebelum kedua ujung kawat diberikan beda potensial V, maka semua elektron-elektron bebas yang berada di dalam logam bergerak dengan orientasi acak.

Ketika kedua ujung kawat kini mulai diberikan beda potensial sebesar V, maka akan muncul medan listrik E pada kawat tersebut. Akibatnya, elektron-elektron bebas yang awalnya bergerak acak kini mulai bergerak ke arah kutub positif sumber tegangan. Namun, dalam pergerakannya, elektron-elektron bebas akan mengalami tumbukan-tumbukan dengan inti-inti ion positif yang berada di dalan logam tersebut.

Kawat penghantar dengan panjang L dan luas pengampang A

Karena elektron-elektron bebas berprilaku layaknya molekul pada gas ideal, maka tumbukan yang terjadi adalah elastik sempurna. Waktu tumbukan antara elektron bebas dengan inti sesaat sebelum mengalami tumbukan selanjutnya disebut sebagai waktu relaksasi. 

Misalkan kita mengambil sebagian elemen dari kawat panjang tersebut sepanjang x dan memiliki luas penampang tetap yakni A. Maka, besarnya arus yang mengalir pada volume tersebut persatuan waktu dapat dituliskan ke dalam persamaan :

di mana n merupakan banyaknya elektron-elektton bebas yang melintasi permukaan kawat. Lebih lanjut, besar nilai rapat arus J dari sistem tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan :

Dikatakan bahwaa elektron-elektron bebas tersebut memenuhi sifat dari gas ideal sehingga, persamaan dinamika pergerakan elektron bebas tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan :

yang menyatakan kesetaraan dengan gaya elektrostatik sebagai fungsi dari medan listrik E. Dengan meneyelesaikan persamaan ini, maka akan diperoleh besar kecepatan drift vd sebagai berikut : 

berdasarkan hasil ini, maka besar rapat arus sebagai fungsi dari medan listrik E dapat diperoleh dengan menyubtitusi nilai dari kecepatan drift ke persamaan rapat arus yang telah ditemukan sebelumnya, maka akan diperoleh:

di mana:

yang menyatakan nilai dari konduktivitas listrik logam. Persamaan ini dikenal sebagai hukum Ohm. 

D. Teori Gas Elektron Bebas Dalam Menjelaskan Hambatan Jenis (Resistivitas) Logam 

Diketahui bahwa pergerakan elektron-elektron bebas sebagai pengaruh dari medan listrik E akan menghasilkan aliran elektron-elektron bebas yang bergerak ke terminal positif sumber daya. Namun, dalam pergerakannya, elektron-elektron bebas ini menumbuk inti-inti ion positif sehingga akan menghasilkan hambatan listrik. 

Kaitannya dengan temperatur, nilai dari hambatan jenis ini bersifat linear dengan kenaikan temperatur. Namun, berdasarkan hasil eksperimen, tidaklah demikian adanya. Terdapat suatu bagian dimana nilai hambatan jenis bernilai tetap. Adanya anomali ini, dikarenakan adanya faktor cacat kristal semisal kekosongan bahkan adanya pengotor di dalam struktur kristal logam tersebut. 

Akibatnya, nilai dari resistivitas tidak hanya berasal dari pengaruh temperatur saja, melainkan ada kontribusi dari kecacatan pada kristal.

Hubungan antara resistivitas dengan temperatur

Jika kita melihat kembali asumsi Drude bahwa elektron-elektron dihamburkan oleh inti tidaklah benar, melainkan oleh adanya deviasi dari kristal yakni yang disebabkan oleh phonon dan cacat kristal. Sehingga, laju hamburan atau waktu relaksasi dapat dituliskan sebagai superposisi dari laju hamburan oleh phonon dan cacat kristal, sehingga :

Karena resistivitas merupakan kebalikan dari konduktivitas, maka dengan melakukan subtitusi ke persamaan konduktivitas di atas, maka diperoleh :

Persamaan ini dikenal sebagai aturan Matthiessen.

E. Hukum Wiedemann–Franz

Bunyi Hukum Wiedemann–Franz:

“Perbandingan antara konduktivitas termal ($\kappa$) dan konduktivitas listrik ($\sigma$) dari logam sebanding dengan suhu absolut $T$.”

Secara matematis:

$$\frac{\kappa }{\sigma }=LT$$

Dengan:

• $L$: konstanta Lorenz

• $T$: suhu absolut (dalam Kelvin)

Konstanta Lorenz (dalam teori Drude klasik):

$$L=\frac{\kappa }{\sigma T}=\frac{{\pi }^2}{3}{\left(\frac{k_B}{e}\right)}^2\approx 2.45\times {10}^{-8}\text{W}\mathrm{\Omega }{\text{K}}^{-2}$$

(Nilai ini didapat lebih akurat dengan pendekatan teori kuantum Sommerfeld.)

Asal-usul hubungan tersebut:

Dalam teori Drude:

• Konduktivitas listrik $\sigma = \dfrac{ne^2 \tau}{m}$

• Konduktivitas termal $\kappa = \dfrac{1}{3} n v^2 \tau k_B$

Jika kita ambil $v^2 \sim \dfrac{k_B T}{m}$ (kecepatan termal), maka:

$$\kappa \propto \frac{n k_B^2 T \tau}{m}$$ $$\Rightarrow \frac{\kappa }{\sigma }\propto \frac{k_B^{2}T}{e^{\mathrm{2}}}$$

Sehingga:

$$\frac{\kappa }{\sigma }=LT$$

Walaupun Drude bisa menjelaskan bentuk umum hubungan $\kappa/\sigma \propto T$, tetapi nilai numeriknya meleset jauh dari data eksperimen, karena:

1. Teori menggunakan statistik klasik Maxwell–Boltzmann, bukan statistik Fermi–Dirac.

2. Teori ini menganggap semua elektron berperan aktif dalam hantaran panas dan arus, padahal hanya elektron di sekitar energi Fermi yang efektif.

3. Ketergantungan suhu tidak akurat di suhu rendah.

Untuk memperbaiki ini, digunakan model Sommerfeld (teori kuantum elektron bebas) yang mempertimbangkan statistik Fermi-Dirac dan menghasilkan nilai konstanta Lorenz yang sesuai dengan pengamatan.

F. Efek Hall

Efek Hall adalah fenomena fisika yang terjadi ketika arus listrik mengalir melalui bahan konduktor atau semikonduktor, dan dikenai medan magnet tegak lurus terhadap arah arus. Hasilnya, terbentuk tegangan transversal (melintang) yang disebut tegangan Hall. Efek ini pertama kali ditemukan oleh Edwin H. Hall pada tahun 1879.

Bagaimana Efek Hall Terjadi?

Ketika elektron-elektron bebas mengalir dalam kawat dan medan magnet $B$ dikenakan tegak lurus terhadap arah arus, mereka mengalami gaya Lorentz:

$$\vec{F}=-e(\vec{v}\times \vec{B})$$

Gaya ini menyebabkan elektron terdorong ke salah satu sisi konduktor, menciptakan akumulasi muatan dan tegangan Hall $V_H$ pada arah yang tegak lurus terhadap arus dan medan magnet.

Rumus Tegangan Hall

$$V_H=\frac{IB}{ne\mathrm{d}}$$

Dengan:

• $I$: arus listrik

• $B$: medan magnet

• $n$: konsentrasi pembawa muatan (elektron bebas)

• $e$: muatan elektron

• $d$: ketebalan konduktor

Dari sini diperoleh koefisien Hall:

$$R_H=\frac{1}{n\mathrm{e}}$$

Efek Hall dalam Teori Drude-Lorentz

Model Drude-Lorentz menjelaskan konduktivitas listrik dengan menganggap elektron sebagai partikel bebas yang mengalami tumbukan acak. Efek Hall menjadi bukti eksperimental penting dalam mendukung model ini karena:

1. Menunjukkan keberadaan elektron bebas sebagai pembawa muatan utama.

2. Menentukan tanda muatan pembawa arus: efek Hall pada logam menunjukkan pembawa muatan negatif (elektron).

3. Mengukur konsentrasi pembawa muatan ($n$), yang menjadi parameter penting dalam model Drude.

Meskipun teori Drude bersifat klasik, prediksi mengenai arah dan besarnya efek Hall cukup sesuai dengan hasil eksperimen pada banyak logam.

Keterbatasan Teori Drude dalam Efek Hall

Walau secara umum akurat untuk logam biasa, teori Drude tidak bisa menjelaskan:

• Efek Hall yang positif pada beberapa bahan (misalnya semikonduktor tipe-p)

• Ketidaksesuaian nilai numerik pada suhu rendah

• Pengaruh struktur pita energi (band structure) dalam bahan

Untuk mengatasi hal ini, teori kuantum elektron bebas (Sommerfeld) dan teori pita energi diperlukan.

G. Keterbatasan teori elektron bebas Drude-Lorentz

Meski sederhana dan cukup akurat dalam menjelaskan fenomena dasar, teori ini memiliki beberapa kekurangan:

1. Menggunakan statistik klasik: Teori ini gagal menjelaskan distribusi energi elektron yang sebenarnya mengikuti statistik Fermi-Dirac.

2. Tidak akurat pada suhu rendah: Prediksi konduktivitas listrik tidak sesuai dengan hasil eksperimen pada suhu mendekati nol.

3. Nilai konstanta Lorenz tidak tepat: Prediksi hukum Wiedemann-Franz menyimpang dari kenyataan.

4. Mengabaikan struktur pita energi: Tidak mempertimbangkan efek dari kisi kristal logam terhadap pergerakan elektron.

5. Tidak membedakan logam dan semikonduktor: Semua elektron dianggap konduktor, padahal tidak semua bahan bersifat logam.

H. Studi kasus teori elektron bebas Drude-Lorentz

Sebuah kawat tembaga dialiri arus 3 A. Jika luas penampang kawat $A = 1 \, \text{mm}^2$, dan konsentrasi elektron bebas $n = 8.5 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}$, hitung kecepatan drift elektron!

Gunakan $e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$.

Jawaban:

Gunakan rumus:

$$I=nAe{v}_d\Rightarrow v_d=\frac{I}{nA\mathrm{e}}$$

Ubah luas penampang:

$$A=1{\text{mm}}^2=1\times {10}^{-6}{\text{m}}^2$$

Substitusikan nilai:

$$v_d = \frac{3}{(8.5 \times 10^{28})(1 \times 10^{-6})(1.6 \times 10^{-19})}$$ $$v_d=\frac{3}{1.36\times {10}^4}\approx 2.21\times {10}^{-4}\text{m/s}$$

I. FAQ Seputar Model Elektron Bebas Sommerfeld

Apa itu teori Drude-Lorentz?

Teori Drude-Lorentz adalah model klasik yang digunakan untuk menggambarkan perilaku elektron dalam logam dan bahan konduktor. Teori ini mengasumsikan bahwa elektron dapat diperlakukan sebagai partikel bebas yang bergerak di dalam medan potensial yang dihasilkan oleh ion-ion dalam kisi kristal logam.

Apa asumsi dasar dari teori Drude-Lorentz?

Beberapa asumsi utama dalam teori Drude-Lorentz adalah elektron bergerak bebas dalam medan listrik, mengalami tumbukan acak dengan ion-ion dalam kisi kristal, dan tetap mempertahankan momentum rata-rata meskipun ada gangguan dari tumbukan tersebut.

Bagaimana teori Drude-Lorentz menjelaskan konduktivitas listrik?

Teori Drude-Lorentz menjelaskan konduktivitas listrik dengan mengasumsikan bahwa elektron bebas bergerak dalam medan listrik yang diterapkan. Ketika medan listrik diterapkan, elektron akan mengalami percepatan yang sebanding dengan gaya listrik, namun tumbukan acak dengan ion-ion menghasilkan resistansi.

Apa itu hamburan elektron dalam teori Drude-Lorentz?

Hamburan elektron merujuk pada tumbukan acak yang dialami oleh elektron saat bergerak melalui kisi kristal. Tumbukan ini dianggap mengubah arah dan kecepatan elektron, yang menghasilkan resistansi dalam bahan konduktor.

Bagaimana teori Drude-Lorentz menjelaskan konduktivitas termal?

Teori ini juga menjelaskan konduktivitas termal, yaitu kemampuan bahan untuk mengalirkan panas. Elektron bebas membawa energi termal dan dapat mentransfer energi kinetik antara bagian-bagian bahan yang memiliki suhu berbeda.

Apa kelebihan dan kekurangan teori Drude-Lorentz?

Kelebihan: Model ini memberikan penjelasan sederhana mengenai konduktivitas listrik dan termal.
Kekurangan: Tidak dapat menjelaskan fenomena kuantum dan tidak cocok untuk suhu rendah atau bahan dengan sifat konduktor yang lebih kompleks.

Apa itu waktu tumbukan (relaxation time)?

Waktu tumbukan atau relaxation time (\(\tau\)) adalah waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh elektron untuk mengalami tumbukan acak dengan ion-ion dalam kisi kristal setelah pergerakannya terganggu oleh medan eksternal.

Sekian materi singkat mengenai teori gas elektron bebas Drude-Lorentz. Semoga bermanfaat!

Share :