Difraksi Sinar-X : Kisi Resiprok dan Aplikasinya

Zsmart.id. - Pada artikel yang lalu mengenai pemahaman tentang hukum Bragg pada difraksi sinar-X telah kita jelaskan dengan baik dan bagaimana aplikasinya dalam menjelaskan pola difraksi pada zat padat. Pada kesempatan ini, kita akan melanjutkan pembahasan mengenai kisi resiiprok dan aplikasinya dalam menentukan jarak antar bidang pada masing-masing struktur kristal yang kita kenal sebagai kisi Bravais.

A. Kisi Resiprok

Vektor kisi resiprok merupakan sebuah vektor yang memiliki besar yang nilainya sebanding dengan kebalikan dari jarak antar bidang dhkl yang mengarah tegak lurus garis normal bidang tersebut. Secara matematis, vektor kisi resiprok dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan :

$\sigma _{hkl}=\frac{1}{d_{hkl}}\hat{\textbf{n}}$

Layaknya kisi nyata, kisi resiprok juga memiliki unit sel. Unit sel ini terbentuk dari jarak garis normal terpendek dari tiga sumbu yang digunakan. Misalkan kita memiliki sebuah struktur kristal monoklinik yang memiliki vektor translasi a,b dan c serta membentuk bidang d (100), maka berdasarkan gambar tersebut, besar volume unit selnya adalah :

$V=(luas)d_{110}$

$\frac{1}{d_{100}}=\frac{luas}{V}=\frac{\left|\textbf{b}\times\textbf{c}\right|}{V}$

jika dituliskan ke dalam bentuk vektor akan diperoleh :

$\frac{1}{d_{100}}\hat{\textbf{n}}=\frac{\textbf{b}\times\textbf{c}}{V}$

di mana n merupakan vektor satuan pada bidang (100) yang tegak lurus bidang tersebut. Selanjutnya, untuk bidang (100) maka dapat dituliskan berdasarkan persamaan umum vektor kisi resiprok yakni:

$\sigma _{100}=\frac{1}{d_{100}}\hat{\textbf{n}}$

Terdapat relasi antara parameter kisi nyata dan parameter kisi resiprok yang dihubungkan melalui persamaan:

$\textbf{a}^{*}\cdot\textbf{a}=\textbf{b}^{*}\cdot\textbf{b}=\textbf{c}^{*}\cdot\textbf{c}=2\pi$

Jika dikombinasikan dengan persamaan sebelumnya, maka akan diperoleh parameter kisi resiprok yakni:

$\textbf{a}^{*}=2\pi\frac{\textbf{b}\times\textbf{c}}{\textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c}}$

$\textbf{b}^{*}=2\pi\frac{\textbf{c}\times\textbf{a}}{\textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c}}$

$\textbf{c}^{*}=2\pi\frac{\textbf{a}\times\textbf{b}}{\textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c}}$

Berbeda dari kisi nyata yang berada di ruang koordinat ruang, untuk kisi resiprok mereka berada pada ruang vektor k atau pada ruang Fourier. Pada ruang nyata, posisi dari titik-titik kisi dituliskan ke dalam bentuk :

$\textbf{T}=m\textbf{a}+n\textbf{b}+p\textbf{c}$

dan untuk kisi resiprok dituliskan sebagai :

$\textbf{G}=h\textbf{a}^{*}+k\textbf{b}^{*}+l\textbf{c}^{*}$

terlihat apabila kedua buah vektir ini dikenakan perkalian titik, maka akan diperoleh 2π atau :

$e^{i\textbf{G}\cdot\textbf{T}}=1$

Terlihat bahwa nilai dari h,k dan l pada ruang kisi resiprok berkesesuaian dengan nilai h,k dan l pada bidang paralel pada indeks Miller.

B. Aplikasi Kisi Resiprok

a) Kisi resiprok pada struktur kristal kubus sederhana

Pada kubus sederhana, komponen vektor kisi di ruang nyata dapat dituliskan ke dalam bentuk:

$\begin{matrix}\textbf{a}=a\hat{\textbf{i}}\\\textbf{b}=a\hat{\textbf{j}}\\\textbf{c}=a\hat{\textbf{k}}\\\end{matrix}$

dengan menggunakan persamaan penentuan kisi resiprok, maka diperoleh:

$\begin{matrix}\textbf{a}^{*}=\frac{2\pi}{a}\hat{\textbf{i}}\\\textbf{b}^{*}=\frac{2\pi}{a}\hat{\textbf{j}}\\\textbf{c}^{*}=\frac{2\pi}{a}\hat{\textbf{k}}\\\end{matrix}$

b) Kisi resiprok pada struktur kristal kubus berpusat badan

Pada kubus berpusat badan, komponen vektor kisi ruang nyata dapat dituliskan ke dalam bentuk:

$\begin{matrix}\textbf{a}=\frac{a}{2}\left(\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}-\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{b}=\frac{a}{2}\left(-\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{c}=\frac{a}{2}\left(\hat{\textbf{i}}-\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\end{matrix}$

dengan menggnunakan persamaan penentuan kisi resiprok, maka diperoleh:

$\begin{matrix}\textbf{a}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}\right)\\\textbf{b}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{c}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\hat{\textbf{k}}+\hat{\textbf{i}}\right)\\\end{matrix}$

c) Kisi resiprok pada struktur kristal kubus berpusat muka

Pada kubus berpusat badan, komponen vektor kisi ruang nyata dapat dituliskan ke dalam bentuk:

$\begin{matrix}\textbf{a}=\frac{a}{2}\left(\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}\right)\\\textbf{b}=\frac{a}{2}\left(\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{c}=\frac{a}{2}\left(\hat{\textbf{k}}+\hat{\textbf{i}}\right)\\\end{matrix}$

dengan menggnunakan persamaan penentuan kisi resiprok, maka diperoleh:

$\begin{matrix}\textbf{a}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}-\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{b}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(-\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\textbf{c}^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\hat{\textbf{i}}-\hat{\textbf{j}}+\hat{\textbf{k}}\right)\\\end{matrix}$

Demikian informasi singkat mengenai pemahaman materi kisi resiprok pada kajian fisika zat padat bagian kristalografi dan difraksi sinar-X. Semoga bermanfaat!

zsmart.id