Analisis Numerik : Metode Gauss-Seidel (Solusi Persamaan Linear)

Zsmart.id. - Pada artikel yang lalu, kita telah mengetahui metode pertama dalam menyelesaikan persamaan linear secara numerik yakni menggunakan metode Jacobi. Pada artikel ini, akan diperkenalkan metode yang baru dan merupakan metode yang menyempurnakan metode Jacobi yakni metode Gauss-Seidel. 

Metode Gauss-Seidel

Pada metode Jacobi, untuk menentukan nilai pendekatan solusi persamaan linear untuk iterasi yang pertama, kita mengasumsikan bahwa nilai x₁, x₂ dan x₃ (misal untuk solusi persamaan tiga variabel) bernilai nol. Lebih lanjut untuk mendapatkan nilai iterasi yang kedua, maka nilai x₁, x₂ dan x₃ yang telah diperoleh pada proses iterasi pertama digunakan kembali ke persamaan awal hingga diperoleh nilai yang konvergen. Pada metode Gauss-Seidel, kita masih tetap mengasumsikan nilai awal x₁, x₂ dan x₃ bernilai nol. Hanya saja, untuk mendapatkan nilai x₂, kita tidak menggunakan nilai x₁ bernilai nol, tetapi nilai x₁ hasil dari persamaan pertama dan x₃ bernilai nol. Untuk lebih memahami lagi, perhatikan ilustrasi matematik berikut.

Misalkan kita memiliki tiga buah persamaan linear dengan tiga variabel x₁, x₂ dan x₃. Jika semua elemen diagonal persamaan linear tersebut tidak nol, maka dapat ditentukan nilai x₁, x₂ dan x₃ yakni :

untuk mendapatkan nilai dari  x₁ pada persamaan 1, maka kita mengasumsikan nilai  x₂ dan x₃ bernilai nol. Untuk mendapatkan nilai x₂ pada persamaan 2, maka kita menggunakan nilai x₁ yang diperoleh dari persamaan 1 dan nilai x₃ bernilai nol dan untuk mendapatkan nilai x₃ pada persamaan 3, kita menggunakan nilai x₁ yang diperoleh dari persamaan 1 dan nilai x₂ yang diperoleh dari persamaan 2. Proses ini kembali kita ulang ke persamaan yang pertama sehingga diperoleh nilai x₁, x₂ dan x₃  yang konvergen.

Baik metode Jacobi dan Gauss-Seidel akan memberikan hasil yang konvergen asal (paling tidak) salah satu persamaan linear memenuhi syarat :

Contoh Kasus Metode Gauss-Seidel

Tentukan solusi untuk setiap nilai x dari persamaan linear berikut :

langkah pertama, kita mengubah persamaan ini menjadi bentuk seperti pada persamaan 1, 2 dan 3 di atas, diperoleh :

untuk mendapatkan nilai dari  x₁, maka nilai x₂, x₃ dan x₄ kita asumsikan bernilai nol maka diperoleh x₁ = 0.3, kemudian untuk mendapatkan nilai dari x₂, maka nilai x₁ adalah 0.3 dan nilai dari x₃ dan x4 bernilai nol dan diperoleh nilai x₂ = 1.56. Lebih lanjut, untuk mendapatkan nilai x₃ maka x₁ = 0.3, x₂ = 1.56 dan x₄ bernilai nol dan didapatkan x₃ = 2.886. Terakhir untuk nilai x₄ dengan cara yang sama diperoleh x₄ = -0.1368. Langkah ini kembali diulang, untuk proses iterasi yang ke dua, tiga dan seterusnya hingga diperoleh hasil yang konvergen. Lebih lanjut, hasil perhitungan hingga iterasi ke tujuh dapat dilihat pada tabel berikut :

Terlihat bahwa, dengan menggunakan metode Gauss-Seidel, solusi lebih cepat diperoleh dibandingkan menggunakan metode Jacobi. 

Sekian informasi mengenai penyelesaian persamaan linear menggunakan metode Gauss-Seidel. Semoga bermanfaat!

Share :