Analisis Numerik : Metode Posisi Palsu (Regula-Falsi)

Zsmart.id - Pada artikel sebelumnya, kita telah mengetahui metode yang dapat kita gunakan dalam penentuan akar-akar dari suatu persamaan yakni metode bagi dua (bisection method). Pada artikel ini, kita akan kembali mempelajari metode lainnya yakni metode posisi palsu atau biasa dikenal sebagai regula-falsi.

Metode Posisi Palsu (regula-falsi)

Metode ini dapat dikatakan sebagai salah satu metode tertua dalam mementukan akar-akar real dalam suatu persamaan non-linear f(x) = 0. Pada metode ini, kita kembali memilih dua buah titik yakni titik a dan titik b sehingga nilai f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan. Sehingga, karena f(a) dan f(b) berlawanan tanda maka akar dari persamaan non-linear tersebut berada di antara titik a dan b. Sekarang, persamaan yang menghubungkan antara kedua titik tersebut yakni [a, f(a)] dan [b,f(b)] dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan 1 berikut :

akan diperoleh suatu garis lurus yang memotong sumbu x yang merupakan pendekatan untuk nilai akar yang dimaksud. Olehnya, karena perpotongan pada sumbu x maka nilai y = 0, sehingga persamaan di atas menjadi persamaan 2 berikut :

yang merupakan nilai pendekatan pertama untuk nilai akar sehingga f(x) = 0. Jika f(x₁) dan f(a) berlawanan arah maka akar-akar berada di antara a dan x₁, dan kita mengganti b dengan x₁ pada persamaan 2 di atas sehingga diperoleh nilai pendekatan akar yang baru yakni x₂. Jika kebalikannya maka kita mengganti a dengan x₁ untuk memperoleh pendekatan nilai akar yang baru. Prosedur ini kemudian diulang hingga diperoleh nilai toleransi akurasi yang kita inginkan. Ilustrasi dari metode ini dapat dilihat pada gambar berikut :

Pada gambar tersebut terlihat bahwa nilai x yang baru akan mendekati nilai akar yang sesungguhnya.

Contoh Kasus

Tentukan nilai akar dari persamaan berikut :

Langkah pertama adalah kita mencari nilai a dan b yang memenuhi agar f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Misal kita mengambil a = 2 dan b = 3. Untuk a = 2 memberikan nilai f(2) = -1 dan untuk b = 3 memberikan f(3) = 16. Terlihat bahwa kedua nilai tersebut berlawanan tanda sehingga nilai a dan b merupakan batas nilai akar dari persamaan di atas. 

Kemudian, dengan menggunakan persamaan 2 di atas maka akan diperoleh nilai x₁ = 2.058823529 dan nilai f(x₁) = -0.390799917. Terlihat bahwa nilai f(x₁) bernilai negatif sehingga batas akar yang baru berada pada angka x₁ dan b. Apabila kita gunakan kembali persamaan 2 akan diperoleh nilai x₂ = 2.08126366 dan nilai f(x₂) = -0.147204057. Terlihat nilai f(x₂) negaitf, sehingga batas akar yang baru berada diantara x₂ dan b. Dengan mengulangi langkah tersebut maka akan kita peroleh angka x₃ = 2.089639211, x₄ = 2.092739575, x₅ = 2.09388371, x₆ = 2.094305452 dan x₇ = 2.094460846. Jika ambil nilai angka sebanyak lima angka penting diperoleh nilai akar yang dimaksud adanah 2.0945. 

Demikian informasi singkat mengenai penggunaan metode posisi palsu (regula-falsi) dalam mencari nilai akar dari persamaan non-linear. Semoga bermnafaat !

Share :