Analisis Numerik : Metode Newton - Raphson

Zsmart.id - Pada artikel-artikel sebelumnya, kita telah sama-sama mempelajari bagaimana menentukan nilai akar dari suatu persamaan dengan menggunakan dua buah metode yakni metode bagi dua (bisection method) dan metode posisi palsu (regula - falsi method). Hanya saja, pada kedua metode ini, kita dibatasi dalam sebuah rentang interval tertentu yakni [a,b]. Olehnya, akan diperkenalkan suatu metode yang lain dimana kita bisa memilih sembarang nilai awal x₀ tanpa memperhatikan rentangnya. Metode yang pertama adalah metode Newton - Raphson (Newton - Raphson method).

Metode Newton-Raphson (Newton-Raphson method)

Dalam menentukan nilai akar dari suatu persamaan dengan menggunakan metode Newton-Raphson sebenarnya dapat kita dekati dengan dua buah cara yakni dengan menggunakan pendekatan grafik dan menggunakan cara pendekatan ekspansi deret Taylor. Terlihat bahwa kedua cara tersebut akan menghasilkan atau menuju ke hasil yang sama. 

1) Pendekatan grafik

Untuk cara pertama kita menggunakan pendekatan grafik. Perhatikan gambar 1 berikut.. Terlihat sebuah persamaan yang memiliki fungsi y = f(x) yang memotong nilai pada sumbu x tertentu. Nilai inilah yang kita maksud nilai akar dari persamaan y sehingga akan diperoleh y = f(x) = 0. Misalkan kita mengambil titik awal sembarang x₀  lalu diperoleh koordinat titik tersebut adalah [x₀,f(x₀)]. 

Gambar 1. Metode Newton-Raphson

Jika kita menarik garis gradien pada titik tersebut hingga memotong sumbu x maka akan diperoleh nilai x₁ yang merupakan nilai pendekatan akar yang ingin kita temukan. Dengan melakukan proses pengulangan iterasi tersebut, maka akan diperoleh nilai xn yang merupakan nilai dari akar x yang ingin ditemukan. 

Berdasarkan gambar 1 di atas, kita dapat mencari hubungan dari variabel-variabel yang diberikan sehingga dengan menggunakan tinjauan geometri sederhana terlihat bahwa :

sehingga terlihat pada persamaan di atas, kita harus mencari terlebih dahulu turunan pertama dari fungsi f(x) secara manual. 

2) Pendekatan exspansi deret Taylor

Misalkan x₀ merupakan nilai aproksimasi akar sehingga f(x₀) = 0 dan x₁ = x₀ + h  yang merupakan nilai akar yang sesungguhnya sehingga f(x₁) = 0. Dengan melakukan ekspansi deret Taylor pada persamaan f(x₀ + h) kita peroleh :

dengan mengambil dua suku pertama maka diperoleh :

maka diperoleh nilai h yakni :

sehingga diperoleh :

secara umum, untuk nilai aproksimasi x₂, x₃, x₄,....., xn dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan :

yang merupakan persamaan Newton-Raphson.

Contoh Kasus

Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan nilai akar dari persamaan berikut :

dengan nilai awal taksiran akar adalah x₀ = 0 !

Langkah pertama adalah, kita harus mencari terlebih dahulu turunan pertama dari fungsi tersebut dan diperoleh :

setelahnya, kita mulai melakukan proses perhitungan, dalam hal ini kita lakukan sebanyak 4 kali sehingga dengan menggunakan persamaan :

dengan nilai awal x₀ = 0 diperoleh hasil sebagai berikut :

Terlihat dari data yang diperoleh, nilai akar yang dicari sudah dapat didapatkan pada proses iterasi ke 3 dengan besar kesalahan sekitar 0.00000220. Terlihat bahwa metode ini begitu efisien namun masih banyak kelemahan terutama pada sifat konvergensian dan divergensi dari suatu fungsi. 

Share :