Analisis Numerik : Metode Jacobi (Solusi Persamaan Linear)

Zsmart.id - Pada umumnya, kita dapat menyelesaiakan persamaan linear dengan menggunakan beberapa metode eksak seperti metode eliminasi, subtitusi, eliminasi-subtitusi, eliminasi gauss dan sebagainya. Namun, untuk persamaan linear yang memiliki banyak variabel, diperlukan metode iterasi atau pengulangan dalam proses penyelesaiannya. Dalam artikel ini akan diperkenalkan cara pertama yakni menggunakan metode Jacobi.

Metode Jacobi

Misalkan kita memiliki suatu persamaan linear berikut :

di mana sisi-sisi diagonal a₁₁, a₂₂, a₃₃ dan seterusnya tidak bernilai nol. Sehingga, persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi persamaan 1 berikut :

dengan x₁, x₂ hingga xn merupakan solusi dari variabel yang ingin diketahui.. Jika nilai-nilai ini kita masukkan kembali ke persamaan awal, maka diperoleh nilai x₁, x₂ hingga xn yang merupakan nilai hasil proses iterasi ke 2. 

terlihat bahwa nilai x₁, x₂ hingga xn yang diperoleh dari pengerjaan pertama digunakan kembali pada iterasi yang kedua. Proses ini terus diulang untuk iterasi ke 3, 4 dan seterusnya hingga diperoleh hasil sesuai dengan persyaratan yang diberikan oleh persamaan linear tersebut. Lebih lanjut, silahkan perhatikan contoh berikut

Contoh Kasus Metode Jacobi

Tentukan solusi untuk setiap nilai x dari persamaan linear berikut :

langkah pertama, kita mengubah persamaan ini menjadi bentuk seperti pada persamaan 1 di atas, diperoleh :

dengan mengambil nilai awal masing-masing variabel adalah 0, maka diperoleh x₁ = 0.3, x₂ = 1.5, x₃ = 2.7 dan x₄ = -0.9. Nilai inilah yang kita gunakan untuk proses iterasi yang kedua, sehingga dapat diperoleh sesuai tabel berikut :

terlihat bahwa, setelah mengulangi proses sebanyak 12 kali diperoleh nilai x₁, x₂, x₃ dan x₄ yang sesuai dengan persamaan linear yang diberikan pada soal.

Demikian informasi mengenai penyelesaian persamaan linear menggunakan metode pengulangan atau metode Jacobi. Semoga bermanfaat!

Share :