Analisis Numerik : Metode Bagi Dua (Bisection Method)

Zsmart.id - Dalam dunia sains dan keteknikan, salah satu masalah yang paling sering ditemukan adalah bagaimana untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan dalam bentuk f(x) = 0. Jika fungsi f(x) merupakan fungsi yang kuadratik, kubik ataupun bikuadratik maka kita bisa menggunakan metode aljabar sederhana untuk menentukn akar-akar yang dimaksud. Di sisi lain, jika fungsi f(x) merupakan polinomial berderajat tinggi atau fungsi yang berkaitan dengan fungsi transenden maka metode aljabar akan sulti dilakukan sehingga perlu dilakukan beberapa pendekatan-pendekatan lain. Pada artikel ini, akan membahasa mengenai metode bagi dua atau bisection method

Metode Bagi Dua (Bisection Method)

Metode ini bekerja berdasarkan teorema yang menyatakan bahwa jika f(x) kontiniu dalam rentang a  ≤  x  ≤  b, dan jika f(a) dan f(b( berlawanan arah, maka nilai f(k) = 0 di mana a < k < b. Agar lebih jelas lagi, msalkan f(a) negatif dan f(b) positif maka nilai akar akan berada di antara titik a dan b dengan nilai :

JIka f(x₀) bernilai nol maka dapat disimpulkan bahwa x₀ merupakan nilai akar dari persamaan tersebut. Namun jika nilai akar berada di antara x₀ dan b atau di antara x₀ dan a bergantung dari nilai f(x₀) apakah bernilai positif atau negatif. Kita akan peroleh interval baru yakni :

yang memiliki panjang |b-a|/2. Seperti pada langkah sebelumnya, interval baru ini akan memberikan nilai bagi dua pada titik x₁ yang nilainya setengah dari penjumlahan nilai interval tersebut. Kita melakukan pengulangan hingga diperoleh nilai akurasi terkecil misalkan ε. Sehingga untuk n langkah hingga nilai ε tersebut dipenuhi dapat didekati dengan persamaan :

Sebagai contoh, jika selisih mutlak dari b-a adalah 1 dan kita ingin dengan nilai akurasi ε sebesar 0.001 maka akan diperoleh nilai n ≥10. Secara umum, skema metode bagi dua ini dapat dilihat pada gambar berikut :

Adapun untuk menghitung persen kesalahan dari nilai akurasi ε, dapat didekati dengan menggunakan persamaan :

dengan xr' merupakan nilai perhitungan terbaru dari xr. 

Contoh Kasus

Tentukan nilai akar dari persamaan f(x) = x³ - x - 1 = 0 

Solusi :

Berdasarkan persamaan pada soal di atas, terlihat untuk nilai awal x=1 akan menghasilkan f(1) bernilai negatif dan untuk nilai x=2 menghasilkan nilai f(2) yang positif. Karena kedua nilai dari f(1) dan f(2) berlawanan tanda, maka akar dari persamaan tersebut berada pada interval 1 dan 2. Lebih lanjut, jika kita mencari nilai tengah x₀ akan diperoleh nilai 3/2 atau 1.5. Sehingga nilai dari 

akan bernilai positif. Dapat dilihat bahwa nilai tersebut belum nol dan bernilai positif sehingga nilai akar akan berada pada interval 1 dan 1.5 (ingat bahwa syarat harus berlawanan tanda agar nilai akar berada di dalam interval tersebut) dengan nilai tengah (1+1.5)/2 = 1.25. Terlihat bahwa nilai f(1.25) akan bernilai negatif sehingga nilai akar yang baru berada pada interval 1.25 dan 1.5. Ringkasnya, akan diperoleh nilai akar untuk setiap pengulangan perhitungan adalah x₃ = 1.3125, x₄ = 1.34375 dan x₅ = 1.328125. Perhitungan akan berhenti saat diperoleh nilai akurasi ε. 

Demikian informasi singakt mengenai penggunaan metode bagi dua atau bisection method dalam memecahkan kasus pencarian nilai akar dari suatu persamaan. Semoga bermanfaat !

Share :