Analisis Numerik : Interpolasi Linear, Interpolasi Kuadrat dan Interpolasi Lagrange

Zsmart.id. Dalam dunia penelitian baik eksakta ataupun humaniora data merupakan sumber utama dalam mengungkapkan fenomena dari suatu peristiwa. Data akan lebih mudah diolah apabila disajikan dalam bentuk grafik. Salah satu informasi yang dapat diperoleh dari grafik tersebut adalah dengan menggunakan teknik interpolasi. Pada artikel ini, kita akan membahas mengenai teknik interpolasi sederhana yang terdiri atas interpolasi linear, kuadrat dan Lagrange.

A. Pengertian

Secara definisi, interpolasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mencari data spesifik diantara data-data yang telah diketahui. Misalkan data ke 1 memberikan data y₁ = A, data ke 2 memberikan data y₂ = B. Dengan menggunakan teknik interpolasi, kita bisa mencari data untuk variabel y direntang y₁ dan y₂.

B. Interpolasi Linear

Interpolasi linear merupakan teknik interpolasi di antara dua buah titik yang menghasilkan sebuah garis lurus. Sehingga, interpolasi ini akan menggunakan bantuan dari persamaan garis lurus :

jika kita memiliki dua buah data yakni (x₀, y₀) dan (x₁, y₁), maka akan diperoleh dua persamaan linear yakni :

di sini, koefisien dari a₀ dan a₁ dapat diperoleh dengan menggunakan teknik elimnasi ataupun subtitusi. Lebih lanjut, saat a₀ dan a₁ disubtitusi ke persamaan awal mengenai persamaan garis lurus di atas, maka akan diperoleh persamaan garis lurus di antara dua buah titik :

di mana y dan x merupakan variabel data yang terikat satu sama lain. Selanjutnya, persamaan ini dikenal sebagai persamaan interpolasi linear orde 1.

C. Interpolasi Kuadrat

Pada jenis interpolasi ini, kita diberikan tiga buah titik yakni (x₀,y₀), (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) dan ketiga titik ini akan membentuk polinom kuadrat yang secara matematis dapat dituliskan ke dalam bentuk :

dengan memasukkan data ketiga buah titik - titik tersebut ke persamaan di atas, maka akan diperoleh tiga buah persamaan polinom kuadrat yang berkesesuaian dengan titik - titik tersebut yakni :

ketiga persamaan ini dapat dikerjakan atau diselesaiakan dengan menggunakan pendekatan matriks untuk menentukan nilai koefisien a₀, a₁ dan a₂. Ketika nilai - nilai koefisien ini telah diketahui lalu disubtitusikan ke persamaan umum polinom kuadrat maka nilai data yang ingin diketahui dapat diperoleh. Persamaan ini biasanya dikenal sebagai persamaan interpolasi kuadratik.

C. Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange muncul untuk menyempurnakan kedua metode di atas dengan menggunakan metode polinom Lagrange berorde n. Secara umum, polinom Lagrange ini dapat dituliskan ke dalam bentuk :

dengan Li adalah 

misalkan untuk n = 1, maka diperoleh :

dengan nilai L₀ dan L₁ adalah :

D. Contoh Kasus

Jika diketahui nilai dari sin 0.1 adalah 0.09983 dan sin 0.2 adalah 0.19867 tentukan nilai dari sin 0.17 menggunakan interpolasi linear dan interpolasi linear Lagrange ! Diketahui nilai eksak dari sin 0.17 adalah 0.16918

Solusi :

Ilustrasi kasus di atas dapat dituliskan ke dalam bentuk tabel berikut :

Metode interpolasi linear

Metode interpolasi linear Lagrange

terlihat kedua metode ini memberikan nilai kesalahan sebesar 0.1%.

Sekian informasi mengenai metode interpolasi linear, kuadrat dan Lagrange. Semoga bermanfaat !

Share :