Besar Serta Operasi Perkalian Silang (Cross Product) dan Perkalian Titik (Dot Product) Pada Vektor

Zsmart.id. Pada pembahasan yang lalu mengenai vektor, kita telah mengetahui definisi dari vektor dan beberapa operasi matematik dasar yakni penjumlahan dan pengurangan vektor menggunakan metode grafik dan analitik. Lebih lanjut, kita akan mempelajari operasi matematik lanjut mengenai vektor yakni perkalian silang (cross product) dan perkalian titik (dot product)

A. Besar (modulus) Suatu Vektor

Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Untuk mencari nilai atau besar suatu vektor maka dapat ditentukan dengan cara mengakarkan hasil penjumlahan dari kuadrat masing-masing komponen vektor. Misal kita memiliki vektor A

$\textbf{A}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$

maka besar dari vektor A tersebut adalah :

$A=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

jika

$\textbf{A}=a\hat{i}+b\hat{j}$

maka :

$A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

B. Perkalian Silang (cross product)

Apabila dua buah vektor A dan vektor B dilakukan perkalian silang maka akan menghasilkan suatu vektor yang baru yakni vektor C.

$\textbf{A}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$

$\textbf{B}=p\hat{i}+q\hat{j}+r\hat{k}$

maka hasil dari A x B menghasilkan C

$\textbf{C}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}& \hat{k}\\ a& b& c\\ p& q& r\\\end{vmatrix}=\left ( br-cq \right )\hat{i}+\left ( cp-ar \right )\hat{j}+\left ( aq-bp \right )\hat{k}$

Contoh :

Tentukan hasil perkalian silang dari dua vektor berikut :

$\textbf{A}=3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$

$\textbf{B}=2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}$

Solusi :

$\textbf{C}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}& \hat{k}\\ 3& 5& -2\\ 2& 3& 6\\\end{vmatrix}=\left [ (5)(6)-(-2)(3) \right ]\hat{i}+\left [ (-2)(2)-(3)(6) \right ]\hat{j}+\left [ (3)(3)-(5)(2) \right ]\hat{k}$

$\textbf{C}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}& \hat{k}\\ 3& 5& -2\\ 2& 3& 6\\\end{vmatrix}=\left [ 30+6 \right ]\hat{i}+\left [ -4-18 \right ]\hat{j}+\left [ 9-10 \right ]\hat{k}$

$\textbf{C}=36\hat{i}-22\hat{j}-\hat{k}$

C. Perkalian Titik (dot product)

Apabila dua buah vektor A dan vektor B dilakukan perkalian titik maka akan menghasilkan suatu nilai skalar C

$\textbf{A}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$

$\textbf{B}=p\hat{i}+q\hat{j}+r\hat{k}$

berdasarkan definisi dari perkalian titik bahwa :

$\textbf{A}\bullet \textbf{B}=ABcos(\theta )$

terlihat sudut yang dibentuk diantara dua buah vektor akan bernilai 1 apabila nilai sudut teta bernilai 0ᵒ dan akan bernilai 0 saat sudut teta bernilai 90ᵒ. Karena sudut yang dibentuk masing - masing vektor satuan i, j dan k adalah sebesar 90ᵒ maka perkalian titik akan bernilai apabila dilakukan perkalian antara vektor satuan yang sejenis, yakni i dengan i, j dengan j dan k dengan k

$\hat{i}\bullet \hat{i}=\hat{j}\bullet \hat{j}=\hat{k}\bullet \hat{k}=1$